a: ΔOAB cân tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên OH\(\perp\)AB tại H

Ta có: \(\widehat{OHS}=\widehat{OES}=\widehat{OFS}=90^0\)

=>O,H,S,E,F cùng thuộc đường tròn đường kính OS
b: Xét (O) có

\(\widehat{SEA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến ES và dây cung EA

\(\widehat{EBA}\) là góc nội tiếp chắn cung EA

Do đó: \(\widehat{SEA}=\widehat{EBA}\)

Xét ΔSEA và ΔSBE có

\(\widehat{SEA}=\widehat{SBE}\)

\(\widehat{ESA}\) chung

Do đó: ΔSEA~ΔSBE

=>\(\dfrac{SE}{SB}=\dfrac{SA}{SE}\)

=>\(SE^2=SA\cdot SB\)

a/ Ta có: ∠SEF = ∠SOF = 90° (do SE, SF là tiếp tuyến của đường tròn (O; R))
Do đó: ∠EHF = ∠SEF + ∠SOF = 180°
Suy ra: E, H, F cùng nằm trên một đường tròn. Vì ∠EHF = 180° nên H là tâm đường tròn đi qua E, F.
Ta có: ∠SHO = ∠SEO + ∠EOF = 90° + 90° = 180°
Suy ra: S, H, O cùng nằm trên một đường tròn. Vì ∠SHO = 180° nên H là tâm đường tròn đi qua S, O.
Vậy: S, E, H, O, F cùng nằm trên một đường tròn.

b/ Ta có: ∠ESB = ∠EAB (do ES, EB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R))
Do đó: ∆ESB ~ ∆EAB (theo góc - cạnh - góc)
Suy ra: ES/EA = SB/AB
Vì H là trung điểm của AB nên AH = HB = AB/2
Suy ra: ES² = EA.AB = 2EA.AH = SA.SB (do EA = SA - AH)

c/ Ta có: SO = 3R = 6cm
Do đó: d = 2SO = 12cm
Suy ra: Diện tích hình tròn ngoại tiếp từ giác SEOF là: π(d/2)² = π(12/2)² = 36π (cm²)

d/ Ta có: ∠SEF = 90°
Do đó: mỗi cung EF = 90°/360° = 1/4
Suy ra: Diện tích hình quạt tròn giới hạn 2 bán kính SE, SF và cung nhỏ EF là: 1/4π(SE)² = 1/4πR² = 1/4π(2)² = π (cm²

c: OS=3*2=6(cm)

=>R₁=6/2=3(cm)

Diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác SEOF là \(3^2\cdot3,14=28,26\left(cm^2\right)\)

\(x^2-4x+1=0\)

=>\(x^2-4x+4-3=0\)

=>\(\left(x-2\right)^2=3\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=\sqrt3\\ x-2=-\sqrt3\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=2+\sqrt3\\ x=2-\sqrt3\end{array}\right.\)

Thay \(x_1=2+\sqrt3\) vào A, ta được:

\(A=\sqrt{2\cdot\left(2+\sqrt3\right)^4+8\left(2+\sqrt3\right)+9}-5\left(2+\sqrt3\right)\)

\(=\sqrt{2\cdot\left(7+4\sqrt3\right)^2+16+8\sqrt3+9}-5\left(2+\sqrt3\right)\)

\(=\sqrt{2\left(97+56\sqrt3\right)+25+8\sqrt3}-5\left(2+\sqrt3\right)=\sqrt{219+120\sqrt3}-5\left(2+\sqrt3\right)\)

\(=\sqrt{144+2\cdot12\cdot5\sqrt3+75}-5\left(2+\sqrt3\right)\)

\(=\sqrt{\left(12+5\sqrt3\right)^2}-5\left(2+\sqrt3\right)\)

\(=12+5\sqrt3-10-5\sqrt3=2\)

Thay \(x_2=2-\sqrt3\) vào A, ta được:

\(A=\sqrt{2\cdot\left(2-\sqrt3\right)^4+8\left(2-\sqrt3\right)+9}-5\left(2-\sqrt3\right)\)

\(=\sqrt{2\cdot\left(7-4\sqrt3\right)^2+16-8\sqrt3+9}-5\left(2-\sqrt3\right)\)

\(=\sqrt{2\left(97-56\sqrt3\right)+25-8\sqrt3}-5\left(2-\sqrt3\right)=\sqrt{219-120\sqrt3}-5\left(2-\sqrt3\right)\)

\(=\sqrt{144-2\cdot12\cdot5\sqrt3+75}-5\left(2-\sqrt3\right)\)

\(=\sqrt{\left(12-5\sqrt3\right)^2}-5\left(2-\sqrt3\right)\)

\(=12-5\sqrt3-10+5\sqrt3=2\)

a: ta có: CH//MB

=>\(\hat{ACF}=\hat{ABM}\) (hai góc đồng vị)(1)

Xét (O) có

\(\hat{ABM};\hat{ANM}\) là các góc nội tiếp chắn cung AM

Do đó: \(\hat{ABM}=\hat{ANM}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{ANM}=\hat{ACF}\)

Xét tứ giác AFCN có \(\hat{ACF}=\hat{ANF}\)

nên AFCN là tứ giác nội tiếp

b: AFCN là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{FNC}=\hat{FAC}\)

mà \(\hat{FAC}=\hat{MAF}\) (AF là phân giác của góc MAB)

nên \(\hat{MAF}=\hat{FNC}\)

=>\(\hat{FNC}=\hat{MAE}\left(3\right)\)

Xét (O) có

\(\hat{MAE},\hat{MNE}\) là các góc nội tiếp chắn cung ME

Do đó: \(\hat{MAE}=\hat{MNE}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\hat{FNC}=\hat{MNE}\)

=>\(\hat{MNC}=\hat{MNE}\)

mà NC và NE có điểm chung là N

nên N,E,C thẳng hàng

c: AE là phân giác của góc MAB

=>\(\hat{MAE}=\hat{BAE}=\frac12\cdot\hat{MAB}=30^0\)

=>\(\hat{OAE}=30^0\)

ΔOAE cân tại O

=>\(\hat{AOE}=180^0-2\cdot\hat{OAE}=120^0\)

Diện tích hình quạt tròn AOE là:

\(S_{q\left(AOE\right)}=\pi\cdot R^2\cdot\frac{n}{360}=\pi\cdot R^2\cdot\frac{120}{360}=\pi\cdot\frac{R^2}{3}\)

Diện tích tam giác AOE là:

\(S_{AOE}=\frac12\cdot OA\cdot OE\cdot\sin AOE=\frac12\cdot R\cdot R\cdot\sin120=\frac{R^2\sqrt3}{4}\)

Diện tích hình viên phân tạo bởi dây AE và cung nhỏ AE là:

\(S_{vp\left(AE\right)}=S_{q\left(OAE\right)}-S_{OAE}=\pi\cdot\frac{R^2}{3}-\frac{R^2\sqrt3}{4}=R^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}\right)\)

a: ta có: CH//MB

=>\(\hat{ACF}=\hat{ABM}\) (hai góc đồng vị)(1)

Xét (O) có

\(\hat{ABM};\hat{ANM}\) là các góc nội tiếp chắn cung AM

Do đó: \(\hat{ABM}=\hat{ANM}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{ANM}=\hat{ACF}\)

Xét tứ giác AFCN có \(\hat{ACF}=\hat{ANF}\)

nên AFCN là tứ giác nội tiếp

b: AFCN là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{FNC}=\hat{FAC}\)

mà \(\hat{FAC}=\hat{MAF}\) (AF là phân giác của góc MAB)

nên \(\hat{MAF}=\hat{FNC}\)

=>\(\hat{FNC}=\hat{MAE}\left(3\right)\)

Xét (O) có

\(\hat{MAE},\hat{MNE}\) là các góc nội tiếp chắn cung ME

Do đó: \(\hat{MAE}=\hat{MNE}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\hat{FNC}=\hat{MNE}\)

=>\(\hat{MNC}=\hat{MNE}\)

mà NC và NE có điểm chung là N

nên N,E,C thẳng hàng

c: AE là phân giác của góc MAB

=>\(\hat{MAE}=\hat{BAE}=\frac12\cdot\hat{MAB}=30^0\)

=>\(\hat{OAE}=30^0\)

ΔOAE cân tại O

=>\(\hat{AOE}=180^0-2\cdot\hat{OAE}=120^0\)

Diện tích hình quạt tròn AOE là:

\(S_{q\left(AOE\right)}=\pi\cdot R^2\cdot\frac{n}{360}=\pi\cdot R^2\cdot\frac{120}{360}=\pi\cdot\frac{R^2}{3}\)

Diện tích tam giác AOE là:

\(S_{AOE}=\frac12\cdot OA\cdot OE\cdot\sin AOE=\frac12\cdot R\cdot R\cdot\sin120=\frac{R^2\sqrt3}{4}\)

Diện tích hình viên phân tạo bởi dây AE và cung nhỏ AE là:

\(S_{vp\left(AE\right)}=S_{q\left(OAE\right)}-S_{OAE}=\pi\cdot\frac{R^2}{3}-\frac{R^2\sqrt3}{4}=R^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}\right)\)

2: \(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right):\dfrac{1}{x-1}\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\cdot\dfrac{x-1}{1}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{x-1}{1}\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x}}\)

\(C=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{4}{x-4};\left(x\ge0;x\ne4\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-2+\sqrt{x}+2+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\)

bgngnbvvbvcnnnbbbbbbbbbbbbb