Em cần làm gì với biểu thức này?

a) Với m = 1, ta có:

⇒ (d): y = x - 1/2 + 2 = x + 3/2

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

1/2 x² = x + 3/2

⇔ x² = 2x + 3

⇔ x² - 2x - 3 = 0

Do a - b + c = 1 - (-2) + 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm:

x₁ = -1; x₂ = -c/a = 3

x₁ = -1 ⇒ y = 1/2 . (-1)² = 1/2

⇒ A(-1; 1/2)

x₂ = 3 ⇒ y = 1/2 . 3² = 9/2

⇒ B(3; 9/2)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

1/2 x² = mx - 1/2 m² + m + 1

⇔ x² = 2mx - m² + 2m + 2

⇔ x² - 2mx + m² - 2m - 2

∆' = (-m)² - 1.(m² - 2m - 2)

= m² - m² + 2m + 2

= 2m + 2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆' > 0

⇔ 2m + 2 > 0

⇔ 2m > -2

⇔ m > -1

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = 2m

x₁x₂ = m² - 2m - 2

Ta có:

|x₁ - x₂| = (x₁ - x₂)² = [(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂]

= [(2m)² - 4.(m² - 2m - 2)]

= (4m² - 4m² + 8m + 4)

= 8m + 4

= 2(2m + 2)

Mà |x₁ - x₂| = 2

⇔ 2(2m + 2) = 2

⇔ (2m + 2) = 1

⇔ 2m + 2 = 1

⇔ 2m = -1

⇔ m = -1/2 (nhận)

Vậy m = -1/2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn |x₁ - x₂| = 2

\(\text{Δ}=\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-3\right)\)

=1-4(m-3)

=1-4m+12

=-4m+13

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-4m+13>0

=>-4m>-13

=>\(m< \dfrac{13}{4}\)

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=-x+6\)

=>\(x^2+x-6=0\)

=>(x+3)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=2\end{matrix}\right.\)
Thay x=2 vào y=-x+6, ta được:

y=-2+6=4

Thay x=-3 vào y=-x+6, ta được:

y=-(-3)+6=9

Vậy: Tọa độ giao điểm là A(2;4); B(-3;9)

b: O(0;0); A(2;4); B(-3;9)

\(OA=\sqrt{\left(2-0\right)^2+\left(4-0\right)^2}=2\sqrt{5}\)

\(OB=\sqrt{\left(-3-0\right)^2+\left(9-0\right)^2}=3\sqrt{10}\)

\(AB=\sqrt{\left(-3-2\right)^2+\left(9-4\right)^2}=5\sqrt{2}\)

Xét ΔOAB có \(cosAOB=\dfrac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}=\dfrac{20+90-50}{2\cdot2\sqrt{5}\cdot3\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
=>\(sinAOB=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Diện tích tam giác AOB là:

\(S_{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot sinAOB\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot2\sqrt{5}\cdot3\sqrt{10}=15\)

Lời giải:

a. PT hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$:
$x^2=-x+6$

$\Leftrightarrow x^2+x-6=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(x+3)=0$

$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=-3$

Với $x=2$ thì $y=x^2=4$. Ta có giao điểm thứ nhất $(2;4)$
Với $x=-3$ thì $y=x^2=9$. Ta có giao điểm thứ hai $(-3;9)$

b.

Đặt $A(2,4)$ và $B(-3;9)$

$AB=\sqrt{(2--3)^2+(4-9)^2}=5\sqrt{2}$
Gọi $C,D$ là giao điểm của $(d)$ và $Ox, Oy$

$C\in Ox$ nên $y_C=0$

$C\in (d)$ nên: $x_C=6-y_C=6-0=6$. Vậy $C$ có tọa độ $(6;0)$
$D\in Oy$ nên $x_D=0$

$D\in (d)$ nên: $y_D=-x_D+6=-0+6=6$. Vậy $D$ có tọa độ $(0;6)$
$CD=\sqrt{(6-0)^2+(0-6)^2}=6\sqrt{2}$

$S_{OCD}=\frac{OC.OD}{2}=\frac{|x_C|.|y_D|}{2}=\frac{6.6}{2}=18$ 

$\frac{S_{OAB}}{S_{OCD}}=\frac{AB}{CD}=\frac{5\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\frac{5}{6}$

$\Rightarrow S_{OAB}=\frac{5}{6}S_{OCD}=\frac{5}{6}.18=15$ 

Lời giải:

a.

Vì $M$ là điểm chính giữa cung $AB$ nên $OM\perp AB$

$\Rightarrow \widehat{KOA}=\widehat{MOA}=90^0$

Lại có: $\widehat{AEK}=\widehat{AEB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác $EAOK$ có tổng hai góc đối nhau $\widehat{KOA}+\widehat{AEK}=90^0+90^0=180^0$

$\Rightarrow EAOK$ là tgnt.

b.

Xét tam giác $EAM$ và $FBM$ có:

$AM=BM$ (do $M$ nằm chính giữa cung AB)

$EA=FB$

$\widehat{EAM}=\widehat{EBM}=\widehat{FBM}$ (góc nt chắn cung $EM$)

$\Rightarrow \triangle EAM=\triangle FBM$ (c.g.c)

$\Rightarrow EM=FM(1)$

Và $\widehat{EMA}=\widehat{FMB}$

$\Rightarrow \widehat{EMA}+\widehat{MAF}=\widehat{FMB}+\widehat{MAF}=\widehat{AMB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{EMF}=90^0(2)$

Từ $(1); (2)$ suy ra $EMF$ là tam giác vuông cân tại $M$

c.

Vì $EMF$ vuông cân tại $M$ nên $\widehat{MEK}=45^0$

$\widehat{DEM}=180^0-\widehat{AEB}-\widehat{MEK}=180^0-90^0-45^0=45^0$

$\Rightarrow \widehat{DEM}=\widehat{MEK}$

$\Rightarrow EM$ là phân giác trong của $\widehat{DEK}$

$\Rightarrow \frac{MK}{MD}=\frac{EK}{ED}$

$\Rightarrow MK.ED=EK.MD$ (đpcm)

Hình vẽ:

1:

Để (d) cắt (d1) thì \(-\left(k-3\right)\ne2\)

=>\(k-3\ne-2\)

=>\(k\ne1\)

Thay x=-1 vào (d1), ta được:

\(y=2\cdot\left(-1\right)=-2\)

Thay x=-1 và y=-2 vào (d), ta được:

\(-\left(k-3\right)\cdot\left(-1\right)+k-2=-2\)

=>\(k-3+k-2=-2\)

=>2k-5=-2

=>2k=3

=>k=1,5(nhận)

2:

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=-\left(k-3\right)x+k-2\)

=>\(x^2+\left(k-3\right)x-k+2=0\)

\(\text{Δ}=\left(k-3\right)^2-4\cdot1\left(-k+2\right)\)

\(=k^2-6k+9+4k-8=k^2-2k+1=\left(k-1\right)^2\)>=0 với mọi k

=>(P) luôn cắt (d) 

b:

ĐKXĐ: k<=2

Theo vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-k+3;x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-k+2\)

\(\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}\)

\(=-k+3+2\sqrt{-k+2}\)

\(=\left(-k+2\right)+2\sqrt{-k+2}+1=\left(\sqrt{-k+2}+1\right)^2\)

=>\(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{-k+2}+1\)

\(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}-x_1x_2=k\)

=>\(\sqrt{-k+2}+1-\left(-k+2\right)=k\)

=>\(\sqrt{-k+2}+1+k-2-k=0\)

=>\(\sqrt{-k+2}-1=0\)

=>-k+2=1

=>-k=-1

=>k=1(nhận)

Câu chuyện trên là một minh họa hài hước về cách nhìn nhận và đánh giá cuộc sống của con người. Mặc dù được ban tặng một dòng suối nước nóng và dòng suối nước lạnh kế bên nhau, nhưng người dân ở vùng đất đó không hài lòng với điều đó. Thay vì biết ơn sự hào phóng của thiên nhiên, họ lại phàn nàn về việc thiếu xà phòng để giặt quần áo. 

Thông điệp được gợi ra từ câu chuyện này là sự không biết ơn và không hài lòng không phải luôn đến từ việc thiếu thiên nhiên cung cấp, mà thường đến từ sự thiếu lòng biết ơn và sự không biết ơn của con người. Người ta thường tìm kiếm những điều mình không có, thay vì đánh giá và trân trọng những điều đã có sẵn xung quanh mình. Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của sự biết ơn, lòng biết ơn và sự hài lòng trong cuộc sống, và cảnh báo về nguy cơ mất đi sự hạnh phúc do sự không biết ơn và sự không hài lòng.