Ta có: \(1^2+2^2+3^2+\ldots+x^2=\left(1+2+3+\cdots+x\right)\cdot\frac{\left(2x+1\right)}{3}\)

=>\(1^2+2^2+\cdots+x^2=x\left(x+1\right)\cdot\frac{\left(2x+1\right)}{2\cdot3}=\frac{x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{6}\) (1)

Nếu x=1 thì ta có: \(\frac{1\left(1+1\right)\left(2\cdot1+1\right)}{6}=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1\)

=>(1) đúng với x=1

Giả sử (1) đúng với x=k

Khi đó, ta sẽ có:

\(1^2+2^2+\cdots+k^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\)

Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với x=k+1

\(1^2+2^2+\cdots+k^2+\left(k+1\right)^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\)

\(=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\frac{6\left(k+1\right)^2}{6}\)

\(=\frac{\left(k+1\right)\left\lbrack k\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\right\rbrack}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+4k+3k+6\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left\lbrack2\cdot\left(k+1\right)+1\right\rbrack}{6}\) , đúng với công thức (1)

=>(1) đúng với mọi x thuộc N

N=3 thì n^3+4n-5 không chia hết cho 8 nha bạn

He took a look at his notes before answering the questions

Bài 3:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=3x-2\)

=>\(x^2-3x+2=0\)

=>(x-1)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Khi x=1 thì \(y=1^2=1\)

Khi x=2 thì \(y=2^2=4\)

Vậy: (P) giao (d) tại A(1;1); B(2;4)

bài 2:

a: Thay x=2 vào y=-x+4, ta được:

\(y=-2+2=2=y_A\)

Vậy: A(2;2) thuộc (d)

b: Thay x=2 và y=2 vào y=ax², ta được:

\(a\cdot2^2=2\)

=>4a=2

=>\(a=\dfrac{1}{2}\)

Khi a=1/2 thì (P): \(y=\dfrac{1}{2}x^2\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=-x+4\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2+x-4=0\)

=>\(x^2+2x-8=0\)

=>(x+4)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-4\\x=2\end{matrix}\right.\)

Khi x=-4 thì \(y=-\left(-4\right)+4=8\)

Vậy: Giao điểm thứ hai là B(-4;8)

c: O(0;0); A(2;2); B(-4;8)

\(OA=\sqrt{\left(2-0\right)^2+\left(2-0\right)^2}=2\sqrt{2}\)

\(OB=\sqrt{\left(-4-0\right)^2+\left(8-0\right)^2}=4\sqrt{5}\)

\(AB=\sqrt{\left(-4-2\right)^2+\left(8-2\right)^2}=6\sqrt{2}\)

Vì \(OA^2+AB^2=OB^2\)

nên ΔAOB vuông tại A

=>\(S_{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AO=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot6\sqrt{2}=12\)

EM HỎI  BÀI 6 Ạ

 Xét 2024 số: \(3^1-1,3^2-1,...,3^{2024}-1\). Một số khi chia cho 2023 có 2023 số dư là 0, 1, 2,..., 2022. Do đó, theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại 2 số \(3^i-1\) và \(3^j-1\) có cùng số dư khi chia cho 2023. 

 Không mất tính tổng quát, giả sử rằng \(1\le i< j\le2024\). Khi đó \(\left(3^j-1\right)-\left(3^i-1\right)⋮2023\)

 \(\Leftrightarrow3^j-3^i⋮2023\)

 \(\Leftrightarrow3^i\left(3^{j-i}-1\right)⋮2023\)

Vì \(ƯCLN\left(3^i,2023\right)=1\) nên từ đây suy ra \(3^{j-i}-1⋮2023\)

Vậy, tồn tại số nguyên dương \(j-i\) mà \(3^{j-i}-1⋮2023\), ta có đpcm.

Gọi phần trăm dân số tăng lên trung bình mỗi năm là x(%)

(Điều kiện: 0<x=100)

Số dân sau 1 năm là \(2000000\left(1+0,01x\right)\left(người\right)\)

Số dân sau 2 năm là \(2000000\left(1+0,01x\right)\left(1+0,01x\right)=2\cdot10^6\cdot\left(1+0,01x\right)^2\)

Theo đề, ta có phương trình:

\(2000000\left(1+0,01x\right)^2=2020050\)

=>\(\left(1+0,01x\right)^2=1,010025\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}0,01x+1=1,005\\0,01x+1=-1,005\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}0,01x=0,005\\0,01x=-2,005\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

=>0,01x=0,005

=>x=0,005:0,01=0,5(nhận)

Vậy: phần trăm dân số tăng lên trung bình mỗi năm là 0,5%

Gọi tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố là x% (x>0)

Dân số thành số sau 1 năm: \(2000000+2000000.\dfrac{x}{100}=2000000.\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\) (người)

Dân số thành phố sau 2 năm:

\(2000000\left(1+\dfrac{x}{100}\right)+2000000\left(1+\dfrac{x}{100}\right).\dfrac{x}{100}=2000000\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2\) (người)

Do sau 2 năm dân số thành phố là 2020050 người nên ta có:

\(2000000\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2=2020050\)

\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2=1,010025\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}1+\dfrac{x}{100}=1,005\\1+\dfrac{x}{100}=-1,005\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0,5\\x=-200,5< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy trung bình mỗi năm dân số tp đó tăng 0,5%

Thay x=-5 vào phương trình, ta được:

\(\left(-5\right)^2-2\left(m-1\right)\cdot\left(-5\right)-3m-1=0\)

=>\(25+10\left(m-1\right)-3m-1=0\)

=>10m-20-3m+24=0

=>7m+4=0

=>7m=-4

=>\(m=-\dfrac{4}{7}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)=2\left(-\dfrac{4}{7}-1\right)=2\cdot\dfrac{-11}{7}=-\dfrac{22}{7}\)

=>\(x_2-5=-\dfrac{22}{7}\)

=>\(x_2=-\dfrac{22}{7}+5=\dfrac{13}{7}\)