My name’s Mary. I’m nine years old and I live in Da Nang. There are four people in my family: my father, my mother, my brother and me. My father’s 34 years old. He’s a teacher; and he’s tall and slim. My mother’s 31 years old. She’s a doctor. She’s very beautiful. My brother and I are pupils at Hoa Hong Primary School. I’m older than my brother but he’s taller than me. I love my family a lot.

Ta có: \(EF//AM\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{FEC}=\widehat{AMC}\) (đồng vị) 

Xét hai tam giác FEC và AMC có:

\(\widehat{FCE}\) chung 

\(\widehat{FEC}=\widehat{AMC}\) (cmt) 

\(\Rightarrow\Delta FEC\sim\Delta AMC\) (g.g)  

\(\Rightarrow\dfrac{EF}{AM}=\dfrac{CE}{CM}\Rightarrow\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{CE}{EF}\) (1) 

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta BEG\sim\Delta BMA\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\dfrac{EG}{AM}=\dfrac{BE}{BM}\Rightarrow\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{BE}{EG}\) (vì \(CM=BM\)) (2) 

Từ (1) và (2) ta có: 

\(\dfrac{CE}{EF}=\dfrac{BE}{EG}\Rightarrow EG\cdot CE=EF\cdot BE\)

\(\Rightarrow EG\cdot\left(BC-BE\right)=EF\cdot BE\)

\(\Rightarrow EG\cdot BC-EG\cdot BE=EF\cdot BE\)

\(\Rightarrow EF\cdot BE+EG\cdot BE=EG\cdot BC\)  

\(\Rightarrow EF+EG=\dfrac{EG\cdot BC}{BE}\left(3\right)\) 

Từ (2) ta có: \(\dfrac{EG}{AM}=\dfrac{BE}{BM}\) 

\(\Rightarrow BM\cdot EG=BE\cdot AM\Rightarrow\dfrac{1}{2}BC\cdot EG=BE\cdot AM\) 

\(\Rightarrow EG\cdot BC=2AM\cdot BE\)

\(\Rightarrow2AM=\dfrac{EG\cdot BC}{BE}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow EF+EG=2AM\) (đpcm) 

I suggest you rest for a while.

=> I suggest you rest for a while 

Tạm dịch: Tôi khuyên bạn nên nghỉ ngơi một lát.

#MinhNgoc (no copy, copy => cre) 

E A B C D M O N

a/

Ta có M và A cùng nhìn OC dưới 1 góc \(90^o\) => ACMO là tứ giác nội tiếp

b/

Xét tg vuông BED và tg vuông AEC có \(\widehat{BED}\) chung

=> tg BED đồng dạng với tg AEC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{DB}{CA}=\dfrac{DE}{CE}\)

Mà 

\(DB=DM;CA=CM\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm...)\(\Rightarrow\dfrac{DB}{CA}=\dfrac{DM}{CM}=\dfrac{DE}{CE}\Rightarrow DM.CE=CM.DE\)

c/

Ta có

\(CA\perp AB\left(gt\right);DB\perp AB\left(gt\right)\) => CA//DB

\(\Rightarrow\dfrac{BN}{CN}=\dfrac{DB}{CA}\) (Talet)

Mà \(\dfrac{DM}{CM}=\dfrac{DB}{CA}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{BN}{CN}=\dfrac{DM}{CM}\) => MN//BD (Talet đảo trong tam giác)

a: Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có

\(\hat{KBH}\) chung

Do đó: ΔBKH~ΔBDC

=>\(\frac{BK}{BD}=\frac{BH}{BC}\)

=>\(BK\cdot BC=BH\cdot BD\)

Xét ΔCKH vuông tại K và ΔCEB vuông tại E có

\(\hat{KCH}\) chung

DO đó: ΔCKH~ΔCEB

=>\(\frac{CK}{CE}=\frac{CH}{CB}\)

=>\(CK\cdot CB=CH\cdot CE\)

Ta có: \(BH\cdot BD+CH\cdot CE\)

\(=BK\cdot BC+CK\cdot BC\)

\(=BC\left(BK+CK\right)=BC^2\)

b: Xét ΔKBH vuông tại K và ΔKAC vuông tại K có

\(\hat{KBH}=\hat{KAC}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔKBH~ΔKAC

=>\(\frac{BH}{AC}=\frac{KB}{KA}\)

=>\(AC=BH\cdot\frac{AK}{KB}=BH\cdot\cot ABC\)

A B H K C E I M

Xét \(\Delta ABE\) có

\(AE=AB\Rightarrow\Delta ABE\) cân tại A

Ta có \(MB=ME\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{EAM}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{90^o}{2}=45^o\)  và \(AM\perp BE\)(Trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân)

Ta có M và H cùng nhìn AB dưới một góc \(90^o\) => ABHM là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{AHM}=45^o\) (góc nt cùng chắn cung AM)

\(\Rightarrow\widehat{CHM}=\widehat{AHC}-\widehat{AHM}=90^o-45^o=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{CHM}=45^o\) => HM là phân giác của \(\widehat{AHC}\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét (O) có

\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\hat{MAC}=\hat{MDA}\)

góc AMC chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}\)

=>\(MA^2=MD\cdot MC\) (3)

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(MC\cdot MD=MH\cdot MO\)

=>\(\frac{MC}{MO}=\frac{MH}{MD}\)

Xét ΔMHC và ΔMDO có

\(\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}\)

góc HMC chung

Do đó: ΔMHC~ΔMDO

=>\(\hat{MHC}=\hat{MDO}\)

mà \(\hat{MHC}+\hat{OHC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{OHC}+\hat{ODC}=180^0\)

=>OHCD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{OHD}=\hat{OCD}\)

mà \(\hat{OCD}=\hat{ODC}\) (ΔOCD cân tại O)

và \(\hat{ODC}=\hat{MHC}\)

nên \(\hat{OHD}=\hat{MHC}\)

Ta có: \(\hat{OHD}+\hat{AHD}=\hat{AHO}=90^0\)

\(\hat{MHC}+\hat{AHC}=\hat{AHM}=90^0\)

mà \(\hat{OHD}=\hat{MHC}\)

nên \(\hat{AHD}=\hat{AHC}\)

=>HA là phân giác của góc CHD