a: Xét (O) có

ΔBMC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó; ΔBMC vuông tại M

Xét tứ giác BMHN có \(\hat{BMH}+\hat{BNH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BMHN là tứ giác nội tiếp

=>B,M,H,N cùng thuộc một đường tròn

b: Xét ΔBAC có

M,O lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MO là đường trung bình của ΔBAC

=>MO//AC và \(MO=\frac{AC}{2}\)

Ta có: MO//AC
MK⊥AC

Do đó; MO⊥MK

=>MK là tiếp tuyến tại M của (O)

a: Đặt \(B=\sqrt{\left(1+x\right)^3}+\sqrt{\left(1-x\right)^3}\)

\(=\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)\left\lbrack\left(\sqrt{1+x}\right)^2-\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}+\left(\sqrt{1-x}\right)^2\right\rbrack\)

\(=\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)\left(1+x-\sqrt{1-x^2}+1-x\right)=\left(2-\sqrt{1-x^2}\right)\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)\)

Ta có: \(A=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\cdot\frac{\left\lbrack\left(\sqrt{1+x}\right)^3+\sqrt{\left(1-x\right)^3}\right\rbrack}{2-\sqrt{1-x^2}}\)

\(=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\cdot\frac{\left(2-\sqrt{1-x^2}\right)\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}{2-\sqrt{1-x^2}}\)

\(=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\cdot\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)\)

Đặt \(C=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\)

=>\(C^2=1+x+1-x+2\cdot\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}=2+2\cdot\sqrt{1-x^2}\)

=>\(C=\sqrt{2+2\cdot\sqrt{1-x^2}}\)

Ta có: \(A=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\cdot\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)\)

\(=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{1^2-\left(1-x^2\right)}=\sqrt2\cdot\left|x\right|\)

b: \(a^3-a^2b+ab^2-6b^3=0\)

=>\(a^3-2a^2b+a^2b-2ab^2+3ab^2-6b^3=0\)

=>\(a^2\left(a-2b\right)+ab\left(a-2b\right)+3b^2\left(a-2b\right)=0\)

=>\(\left(a-2b\right)\left(a^2+ab+3b^2\right)=0\)

=>a-2b=0(Vì \(a^2+ab+3b^2=\left(a+\frac12b\right)^2+\frac{11}{4}b^2>0\forall a,b>0\)

=>a=2b

\(B=\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}\)

\(=\frac{\left(2b\right)^4-4b^4}{b^4-4\cdot\left(2b\right)^4}=\frac{16b^4-4b^4}{b^4-4\cdot16b^4}=\frac{12b^4}{b^4-64b^4}=\frac{12}{-63}=-\frac{4}{21}\)

Lời giải:

Ta có:

$x+10^0+x+20^0+x+30^0=360^0$

$\Rightarrow 3x+60^0=360^0$

$\RIghtarrow x=100^0$

$\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\text{sđc(AC)}=\frac{1}{2}(x+30^0)=\frac{1}{2}(100^0+30^0)=65^0$

$\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\text{sđc(AB)}=\frac{1}{2}(x+10^0)=\frac{1}{2}(100^0+10^0)=55^0$

$\widehat{BAC}=180^0-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=180^0-65^0-55^0=60^0$

Lời giải:
$A\in Ox\Rightarrow y_A=0$

$0=y_A=4m^2x_A+1-2m\Rightarrow x_A=\frac{2m-1}{4m^2}$

Vậy $A(\frac{2m-1}{4m^2},0)$

$B\in Oy\Rightarrow x_B=0$

$y_B=4m^2x_B+1-2m=4m^2.0+1-2m=1-2m$
Vậy $B(0, 1-2m)$

$S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow OA.OB=1$

$\Leftrightarrow |x_A|.|y_B|=1$

$\Leftrightarrow |\frac{2m-1}{4m^2}|.|1-2m|=1$

$\Leftrightarrow \frac{(2m-1)^2}{4m^2}=1$

$\Rightarrow \frac{2m-1}{2m}=1$ hoặc $\frac{2m-1}{2m}=-1$

$\Rightarrow 2m-1=2m$ (loại) và $2m-1=-2m$ (chọn) 
$\Rightarrow m=\frac{1}{4}$

 Trước hết ta chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) (*) với \(a,b,x,y>0\). Thật vậy, (*) tương đương \(\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}\)

 \(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge2abxy+a^2xy+b^2xy\)

 \(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh. ĐTXR \(\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

Áp dụng BĐT (*) liên tiếp, ta được:

 \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

Ta có đpcm.

Có \(VT=\dfrac{x^2}{x^3-xyz+2013x}+\dfrac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\dfrac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013\left(x+y+z\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\right]+2013\left(x+y+z\right)}\)

\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)+3\left(xy+yz+zx\right)}\) 

(vì \(2013=3.671=3\left(xy+yz+zx\right)\))

\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\dfrac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{x+y+z}\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2-yz+2013}=\dfrac{1}{y^2-zx+2013}=\dfrac{1}{z^2-xy+2013}\)

\(\Leftrightarrow x^2-yz=y^2-zx=z^2-xy\)

\(\Leftrightarrow x=y=z\) (với \(x,y,z>0\))

Vậy ta có đpcm.