a) Định nghĩa lại H là trung điểm OA. Ta thấy OQ là đường trung bình của tam giác ABF nên OQ//BF. Hơn nữa \(BF\perp BE\) nên \(OQ\perp BE\). Lại có \(BA\perp QE\) nên O là trực tâm của tam giác BEQ \(\Rightarrow OE\perp BQ\)

 Mặt khác, PH là đường trung bình của tam giác AOE nên PH//OA. Do đó, \(PH\perp BQ\). Lại thấy rằng \(BH\perp PQ\) nên H là trực tâm tam giác BPQ (đpcm)

 b) Ta có \(P=\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\) 

\(=\left(\sin^2\alpha\right)^3+\left(\cos^2\alpha\right)^3\)

\(=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\left(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha-\sin^2\alpha\cos^2\alpha\right)\)

\(=1.\left[\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\right]\)

\(=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)

\(\le1-3.\dfrac{\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2}{4}\)

\(=\dfrac{1}{4}\)

 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sin\alpha=\cos\alpha\) \(\Leftrightarrow\alpha=45^o\) hay 2 dây AB, CD vuông góc với nhau.

Vậy \(min_P=\dfrac{1}{4}\)

c) Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}EC.EB=EA^2\\FD.FB=FA^2\end{matrix}\right.\)  (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow EC.EB.FD.FB=\left(EA.FA\right)^2\)

\(\Rightarrow EC.FD.\left(EB.DB\right)=AB^4\)

\(\Rightarrow EC.FD.\left(EF.AB\right)=AB^4\)

\(\Rightarrow EC.FD.EF=AB^3=CD^3\) (đpcm)

Ta có \(EC.DF=AC.AD=BC.BD\)

\(\Rightarrow\dfrac{EC}{DF}=\dfrac{BC.BD}{DF^2}\) 

\(=\dfrac{BC}{DF}.\dfrac{BD}{DF}\) 

\(=\dfrac{BE}{BF}.\dfrac{AC}{DF}\) 

\(=\dfrac{BE}{BF}.\dfrac{AE}{AF}\)

\(=\left(\dfrac{BE}{BF}\right)^3\)

Ta có đpcm.

Bài khá căng đấy

\(1mm=1.10^{-3}m\\ S=\dfrac{d^2\pi}{4}=\dfrac{\left(1.10^{-3}\right)^2.3,14}{4}=7,85.10^{-7}\\ R=\rho\cdot\dfrac{l}{S}=0,4.10^{-6}\cdot\dfrac{4}{7,85.10^{-7}}\approx2,04\Omega\)

Lời giải:
Để $n^4+n^3+1$ là scp $\Leftrightarrow A=4n^4+4n^3+4$ cũng phải là scp

Xét $A-(2n^2+n+1)^2=4n^4+4n^3+4-(2n^2+n+1)^2=-5n^2-2n+3\leq -5-2n+3=-2-2n<0$ với mọi $n\geq 1$

$\Rightarrow A< (2n^2+n+1)^2(1)$

Xét $A-(2n^2+n-1)^2=4n^4+4n^3+4-(2n^2+n-1)^2=3n^2+2n+3>0$ với mọi $n\geq 1$

$\Rightarrow A> (2n^2+n-1)^2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow (2n^2+n-1)^2< A< (2n^2+n+1)^2$
$\Rightarrow A=(2n^2+n)^2$
$\Rightarrow (4n^4+4n^3+4)=(2n^2+n)^2$
$\Leftrightarrow 4-n^2=0$

$\Rightarrow n=2$

Lời giải:

$xy+yz+xz=1$
$\Rightarrow x^2+1=x^2+xy+yz+xz=(x+y)(x+z)$

Tương tự: $y^2+1=(y+z)(y+x); z^2+1=(z+x)(z+y)$

Khi đó:

\(\sum \sqrt{\frac{(x^2+1)(y^2+1)}{z^2+1}}=\sum \sqrt{\frac{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)}{(z+x)(z+y)}}=\sum \sqrt{(x+y)^2}\)

$=\sum (x+y)=2(x+y+z)$

Câu 1:  Dựa vào dữ kiện nào trong số các dữ kiện sau đây để có thể nói một chất là vô cơ hay hữu cơ?

A. Trạng thái (rắn, lỏng, khí) ;                         B.  Độ tan trong nước  ; 

C. Màu sắc             ;                                           D.  Thành phần nguyên tố;

Câu 2: Đốt cháy hoàn toàn 11,2 lit khí metan ở (đktc).Thể tích khí cacbonic tạo thành là:

\(n_{CH_4}=\dfrac{11,2}{22,4}=0,5mol\\ CH_4+2O_2\xrightarrow[t^0]{}CO_2+2H_2O\\ n_{CO_2}=n_{CH_4}=0,5mol\\ V_{CO_2}=0,5.22,4=11,2l\)

A. 112 lit ;      B. 11,2 lit ;      C. 1,12 lit ;     D. 22,4 lit  .

Câu 3: Để đốt cháy 4,48 lit khí etilen (ở đktc) cần phải dùng bao nhiêu lit khí oxi :

\(n_{C_2H_4}=\dfrac{4,48}{22,4}=0,2mol\\ C_2H_4+3O_2\xrightarrow[]{t^0}2CO_2+2H_2O\\ n_{O_2}=3.0,2=0,6mol\\ V_{O_2}=0,6.22,4=13,44l\)

A. 13,44 lit ;      B. 1344 lit ;      C. 1,34 lit ;            D.13,04 lit.

Câu 4: Cấu tạo đặc biệt của phân tử benzen là :

A.Có vòng 6 cạnh ;    B.Có vòng 6 cạnh chứa ba liên kết đôi xen kẽ ba liên kết đơn ;

C.Có ba liên kết đôi ;  D. Có vòng 6 cạnh chứa liên kết đôi và liên kết đơn ;

Câu 5:Hãy cho biết chất nào trong các chất sau đây có thể làm mất màu dung dịch nước brom|:

A. C₆H₆  ;       B.  CH₂=CH - CH= CH₂ ;    C. CH₃ -CH₃ ;      D. CH₄ .

Lời giải:

Áp dụng định lý Fermat nhỏ thì:

$2020^6\equiv 1\pmod 7$

$\Rightarrow (2020^6)^{336}.2020^4\equiv 1^{336}.2020^4\equiv 2020^4\pmod 7$

Có:

$2020\equiv 4\pmod 7$

$\Rightarrow 2020^4\equiv 4^4\equiv 256\equiv 4\pmod 7$

$\Rightarrow A\equiv 2020^4\equiv 4\pmod 7$

Vậy $A$ chia $7$ dư $4$