Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) có đường cao \(AH\). Tiếp tuyến tại \(A\) với đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) cắt các tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) theo thứ tự tại \(D\) và \(E\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(CD\) và \(BE\). Chứng minh rằng:
a) \(A,I,H\) thẳng hàng
b) \(AI=IH\)
c) \(DE\cdot AI=DB\cdot...
Đọc tiếp
Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) có đường cao \(AH\). Tiếp tuyến tại \(A\) với đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) cắt các tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) theo thứ tự tại \(D\) và \(E\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(CD\) và \(BE\). Chứng minh rằng:
a) \(A,I,H\) thẳng hàng
b) \(AI=IH\)
c) \(DE\cdot AI=DB\cdot EC\)
a) và b) Gọi \(P=CA\cap BD,Q=BA\cap CE\)
Tam giác ABP vuông tại A \(\Rightarrow\widehat{DAP}=90^o-\widehat{DAB}\) và \(\widehat{P}=90^o-\widehat{DBA}\)
Dễ thấy tam giác DAB cân tại D nên \(\widehat{DAB}=\widehat{DBA}\). Từ đó suy ra \(\widehat{DAP}=\widehat{P}\) hay tam giác DAP cân tại D \(\Rightarrow DA=DB=DP\) hay D là trung điểm BP. Tương tự, ta có E là trung điểm CQ.
Gọi \(I'=CD\cap AH\). Khi đó áp dụng bổ đề hình thang cho hình thang AHBP, ta có ngay I' là trung điểm AH. Lại áp dụng bổ đề hình thang lần nữa cho hình thang AHCQ, ta thấy B, I, E thẳng hàng (*)
(*) Bổ đề hình thang phát biểu rằng: Trong 1 hình thang, 2 trung điểm của 2 cạnh đáy, giao điểm 2 đường chéo và giao điểm của 2 đường thẳng chứa 2 cạnh bên của nó thẳng hàng.
Do đó \(I'\equiv I\), suy ra I, A, H thẳng hàng, đồng thời \(IA=IH\).
c) Theo Thales: \(\dfrac{DA}{DE}=\dfrac{AI}{EC}\) \(\Rightarrow DE.AI=DA.EC\). Mà \(DA=DB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên ta có đpcm.
Thanks anh/chị Lê Song Phương nhiều ạ, nhờ có chị mà em hiểu rõ hơn về toán lớp 9 r ạ!#