Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuy n AM, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ
tự là chân đường vuông góc kẻ t H n AB, AC. Chứng minh rằng
a) AH = DE b) H ̂ B = M ̂ C
c) AM vuông góc DE
d) Chứng minh DICE là hình thang biết I l trung điểm của HB v K l trung điểm của...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuy n AM, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ
tự là chân đường vuông góc kẻ t H n AB, AC. Chứng minh rằng
a) AH = DE b) H ̂ B = M ̂ C
c) AM vuông góc DE
d) Chứng minh DICE là hình thang biết I l trung điểm của HB v K l trung điểm của HC
a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
=>AH=DE
b: Sửa đề: Chứng minh \(\hat{HAB}=\hat{MAC}\)
ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên MA=MB=MC
MA=MC nên ΔMAC cân tại M
=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}=\hat{ACB}\) (1)
Ta có: \(\hat{HAB}+\hat{ABC}=90^0\) (ΔHAB vuông tại H)
\(\hat{ACB}+\hat{ABC}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)
DO đó: \(\hat{HAB}=\hat{ACB}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{MAC}=\hat{HAB}\)
c: ADHE là hình thang
=>\(\hat{AED}=\hat{AHD}\)
mà \(\hat{AHD}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAD}\right)\)
nên \(\hat{AED}=\hat{ABC}\)
\(\hat{AED}+\hat{MAC}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)
=>DE⊥MA
d: ΔCHE vuông tại E
mà EK là đường trung tuyến
nên KE=KH
=>\(\hat{KEH}=\hat{KHE}\)
mà \(\hat{KHE}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, EH//AB)
nên \(\hat{KEH}=\hat{ABC}\)
ΔHDB vuông tại D
mà DI là đường trung tuyến
nên IH=ID
=>ΔIHD cân tại I
=>\(\hat{IDH}=\hat{IHD}\)
mà \(\hat{IHD}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị, HD//AC)
nên \(\hat{IDH}=\hat{ACB}\)
AEHD là hình chữ nhật
=>\(\hat{EDH}=\hat{EAH}=\hat{CAH}\)
\(\hat{KED}=\hat{KEH}+\hat{DEH}\)
\(=\hat{ABC}+\hat{HAB}=90^0\)
=>KE⊥ ED tại E
\(\hat{EDI}=\hat{EDH}+\hat{IDH}\)
\(=\hat{EAH}+\hat{HCA}=90^0\)
=>ED⊥ DI tại D
mà KE⊥ ED
nên KE//DI
=>KEDI là hình thang