a: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD và OH là phân giác của góc COD

Xét ΔOCM và ΔODM có

OC=OD

\(\hat{COM}=\hat{DOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOCM=ΔODM

=>\(\hat{OCM}=\hat{ODM}\)

=>\(\hat{ODM}=90^0\)

=>MD là tiếp tuyến của (O)

b: OA+AM=OM

=>OM=R+R=2R

ΔOCM vuông tại C

=>\(CO^2+CM^2=OM^2\)

=>\(CM^2=\left(2R\right)^2-R^2=4R^2-R^2=3R^2\)

=>\(CM=R\sqrt3\)

Xét ΔOCM vuông tại C có CH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OC^2\)

=>\(OH=\frac{R^2}{2R}=\frac{R}{2}\)

Xét (O) có

ΔCDE nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCDE vuông tại D

Xét ΔCDE có H,O lần lượt là trung điểm của CD,CE

=>HO là đường trung bình của ΔCDE

=>HO//ED và HO=1/2ED

=>ED=2OH=R

c: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C
Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(CH^2=HA\cdot HB\)

=>\(4\cdot CH^2=4\cdot HA\cdot HB\)

=>\(CD^2=4\cdot HA\cdot HB\)

\(HA^2+HB^2+\frac{CD^2}{2}\)

\(=HA^2+HB^2+2\cdot HA\cdot HB\)

\(=\left(HA+HB\right)^2=AB^2=4R^2\)

d: Xét (O) có

ΔCFE nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCFE vuông tại F

=>CF⊥ME tại F

Xét ΔMCE vuông tại C có CF là đường cao

nên \(MF\cdot ME=MC^2\) (1)

Xét ΔMCO vuông tại C có CH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MC^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MF\cdot ME=MH\cdot MO\)

=>\(\frac{MF}{MH}=\frac{MO}{ME}\)

Xét ΔMFO và ΔMHE có

\(\frac{MF}{MH}=\frac{MO}{ME}\)

góc FMO chung

Do đó: ΔMFO~ΔMHE

=>\(\hat{MOF}=\hat{MEH}\)

\(x-6\sqrt{x-3}+6\text{=}x-3-6\sqrt{x-3}+9\)

\(\text{=}\left(\sqrt{x-3}\right)^2-2.3.\sqrt{x-3}+\left(3\right)^2\)

\(\text{=}\left(\sqrt{x-3}-3\right)^2\)

A =  \(x-6\)\(\sqrt{x-3}\) + 6 (đkxd \(x>3\))

A = (\(x\) - 3) - 2.3.\(\sqrt{x-3}\) + 9 

A = (\(\sqrt{x-3}\))² - 2.3.\(\sqrt{x-3}\) + 3²

A = (\(\sqrt{x-3}\)- 3)²

\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=2500-900=1600\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow AC=40\left(cm\right)\)

\(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{30.40}{50}=24\left(cm\right)\)

\(AB^2=AH^2+HB^2\Rightarrow HB^2=AB^2-AH^2=900-576=324\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow HB=18\left(cm\right)\)

\(HC=BC-HB=50-18=32\left(cm\right)\)

a: Ta có: \(\frac{8x\cdot\sqrt{x}-1}{2x-\sqrt{x}}-\frac{8x\cdot\sqrt{x}+1}{2x+\sqrt{x}}\)

\(=\frac{\left(2\sqrt{x}\right)^3-1}{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(2\sqrt{x}\right)^3+1}{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(4x+2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(4x-2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{4x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{4x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=4\)

Ta có: \(A=\left(\frac{8x\cdot\sqrt{x}-1}{2x-\sqrt{x}}-\frac{8x\cdot\sqrt{x}+1}{2x+\sqrt{x}}\right):\frac{2x+1}{2x-1}\)

\(=4\cdot\frac{2x-1}{2x+1}=\frac{8x-4}{2x+1}\)

b: Để A là số chính phương thì đầu tiên A phải là số tự nhiên

A là số tự nhiên khi \(\begin{cases}8x-4\vdots2x+1\\ \frac{8x-4}{2x+1}\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}8x+4-8\vdots2x+1\\ \frac{2x-1}{2x+1}\ge0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}-8\vdots2x+1\\ \left[\begin{array}{l}x\ge\frac12\\ x<-\frac12\end{array}\right.\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+1\in\left\lbrace1;-1;2;-2;4;-4;8;-8\right\rbrace\\ \left[\begin{array}{l}x\ge\frac12\\ x<-\frac12\end{array}\right.\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2x\in\left\lbrace0;-2;1;-3;3;-5;7;-9\right\rbrace\\ \left[\begin{array}{l}x\ge\frac12\\ x<-\frac12\end{array}\right.\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\in\left\lbrace0;-1;\frac12;-\frac32;\frac32;-\frac52;\frac72;-\frac92\right\rbrace\\ \left[\begin{array}{l}x\ge\frac12\\ x<-\frac12\end{array}\right.\end{cases}\)

=>x∈{-1;1/2;-3/2;3/2;-5/2;7/2;-9/2}

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x\(\in\left\lbrace\frac32;\frac72\right\rbrace\)

TH1: \(x=\frac32\)

=>2x=3

=>2X+1=4; 2x-1=2

\(A=\frac{8x-4}{2x+1}=4\cdot\frac{2x-1}{2x+1}=4\cdot\frac24=2\) không là số chính phương

=>Loại

TH2: \(x=\frac72\)

=>2x=7

=>2x+1=8; 2x-1=6

\(A=4\cdot\frac{2x-1}{2x+1}=4\cdot\frac68=\frac{24}{8}=3\) không là số chính phương

=>Loại

Vậy: x∈∅

a: Ta có: \(\frac{8x\cdot\sqrt{x}-1}{2x-\sqrt{x}}-\frac{8x\cdot\sqrt{x}+1}{2x+\sqrt{x}}\)

\(=\frac{\left(2\sqrt{x}\right)^3-1}{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(2\sqrt{x}\right)^3+1}{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(4x+2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(4x-2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{4x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{4x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=4\)

Ta có: \(A=\left(\frac{8x\cdot\sqrt{x}-1}{2x-\sqrt{x}}-\frac{8x\cdot\sqrt{x}+1}{2x+\sqrt{x}}\right):\frac{2x+1}{2x-1}\)

\(=4\cdot\frac{2x-1}{2x+1}=\frac{8x-4}{2x+1}\)

b: Để A là số chính phương thì đầu tiên A phải là số tự nhiên

A là số tự nhiên khi \(\begin{cases}8x-4\vdots2x+1\\ \frac{8x-4}{2x+1}\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}8x+4-8\vdots2x+1\\ \frac{2x-1}{2x+1}\ge0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}-8\vdots2x+1\\ \left[\begin{array}{l}x\ge\frac12\\ x<-\frac12\end{array}\right.\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+1\in\left\lbrace1;-1;2;-2;4;-4;8;-8\right\rbrace\\ \left[\begin{array}{l}x\ge\frac12\\ x<-\frac12\end{array}\right.\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2x\in\left\lbrace0;-2;1;-3;3;-5;7;-9\right\rbrace\\ \left[\begin{array}{l}x\ge\frac12\\ x<-\frac12\end{array}\right.\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\in\left\lbrace0;-1;\frac12;-\frac32;\frac32;-\frac52;\frac72;-\frac92\right\rbrace\\ \left[\begin{array}{l}x\ge\frac12\\ x<-\frac12\end{array}\right.\end{cases}\)

=>x∈{-1;1/2;-3/2;3/2;-5/2;7/2;-9/2}

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x\(\in\left\lbrace\frac32;\frac72\right\rbrace\)

TH1: \(x=\frac32\)

=>2x=3

=>2X+1=4; 2x-1=2

\(A=\frac{8x-4}{2x+1}=4\cdot\frac{2x-1}{2x+1}=4\cdot\frac24=2\) không là số chính phương

=>Loại

TH2: \(x=\frac72\)

=>2x=7

=>2x+1=8; 2x-1=6

\(A=4\cdot\frac{2x-1}{2x+1}=4\cdot\frac68=\frac{24}{8}=3\) không là số chính phương

=>Loại

Vậy: x∈∅