Theo tính chất quen thuộc, O là tâm của (AEF).

Mặt khác, ta lại có \(\widehat{BIC}=90^o+\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=135^o\) nên \(\widehat{BIF}=45^o\). Lại có \(\widehat{BAI}=45^o\) nên \(\Delta BIF~\Delta BAI\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{BI}{BA}=\dfrac{BF}{BI}\Rightarrow BI^2=BA.BF\) \(\Rightarrow P_{B/\left(O\right)}=P_{B/\left(I;0\right)}\) 

 \(\Rightarrow\) B nằm trên trục đẳng phương của (O) và (I;0). 

 Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được C nằm trên trục đẳng phương của (O) và (I;0). Từ đó suy ra BC là trục đẳng phương của (O) và (I;0) \(\Rightarrow BC\perp OI\) (đpcm)

r

a: Xét ΔABD có M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MQ là đường trung bình của ΔABD

=>MQ//BD và \(MQ=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔCBD có

N,P lần lượt là trung điểm của CB,CD

=>NP là đường trung bình của ΔCBD

=>NP//BD và \(NP=\frac{BD}{2}\)

Ta có: MQ//BD

NP//BD

Do đó: MQ=NP

Ta có: \(MQ=\frac{BD}{2}\)

\(NP=\frac{BD}{2}\)

Do đó: MQ=NP

Xét tứ giác MNPQ có

MQ//NP

MQ=NP

Do đó: MNPQ là hình bình hành

b: Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC

Hình bình hành MNPQ trở thành hình chữ nhật thì MN⊥MQ

mà MN//AC

nên MQ⊥AC

Ta có: MQ⊥AC

MQ//BD

Do đó: BD⊥AC

\(\left(2x-1\right)^3-2x\left(2x+1\right)^2=5x-20x^2\)

\(\Rightarrow8x^3-12x^2+6x-1-2x\left(4x^2+4x+1\right)-5x+20x^2=0\)

\(\Rightarrow8x^3-12x^2+6x-1-8x^3-8x^2-2x-5x+20x^2=0\)

\(\Rightarrow-x-1=0\)

\(\Rightarrow x=-1\)

I often feel stress because of peer pressure and too much schoolwork. Also, another factor got me into pressure is that I spend too much time on social media. I am a victim of bullying at school. But here are some ways I get rid of my pressure. I often stay calm and relaxed, and I also talk to teachers at schools. I try to turn off my smartphones too. Last but no least, I avoid meeting bullies wherever possible.

#ReiTran

I like sex gay  in the countryside for a number of reasons. It is a peaceful place with fresh air. We can sex a healthy natural condition without worrying much about air pollution. Moreover, rural is a safer place than a city. Because most of the villagers are friendly and willing to help each other.  There is less traffic so it's safe for children. The special thing that people like living in the countryside is the cost of living here usually cheaper so this is an idea place to raise the child. In contrast, the bad things are very rare in the countryside. To sum up, except the problem of income, the countryside is a residence better than the cities.

  Đặt \(P\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x+a\right)+5=x^2-a^2+5\). Để P(x) phân tích được thành tích các đa thức bậc nhất có hệ số nguyên thì \(P\left(x\right)=\left(x-c\right)\left(x-d\right)\) (vì hệ số cao nhất của P(x) bằng 1). Ta có:

 \(P\left(x\right)=x^2-\left(c+d\right)x+cd\)

 Đồng nhất hệ số, ta thu được \(\left\{{}\begin{matrix}c+d=0\\cd=5-a^2\end{matrix}\right.\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(c>0\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=-c\\-c^2=5-a^2\end{matrix}\right.\)

 \(\Rightarrow a^2-c^2=5\) \(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a+c\right)=5\). Do \(a-c< a+c\) nên ta xét các trường hợp: 

 TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}a-c=1\\a+c=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\c=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d=-2\). Thử lại, ta thấy thỏa mãn. 

 TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}a-c=-5\\a+c=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\c=2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow d=-2\). Thử lại, ta thấy thỏa mãn.

 Vậy \(a=\pm3\) thỏa ycbt.

 b) Kĩ thuật tương tự nhé.

 Để Q(x) phân tích được thành tích của 2 đa thức bậc nhất hệ số nguyên thì 

a) Đối với đa thức (x+a)(x-a)+5:
Để phân tích thành tích các đa thức bậc nhất có hệ số nguyên, ta cần giải phương trình (x + a)(x - a) + 5 = 0:
x² - a² + 5 = 0.

Các giá trị của a mà khi thay vào phương trình trên, phương trình có nghiệm nguyên là các giá trị riêng. Nhưng phương trình x² - a² + 5 = 0 là một phương trình bậc hai, do đó ta có thể sử dụng công thức giải nghiệm của phương trình bậc hai:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

Ở đây, a = 1, b = 0 và c = -a² + 5.
Thay vào phương trình, ta có:

x = [0 ± √(0 - 4(1)(-a² + 5)) / (2(1)]
= [± √(4a² - 20)] / 2
= ± √(a² - 5) / 2.

Để phương trình có nghiệm nguyên, a² - 5 phải là bình phương của một số nguyên. Ta có thể tìm các giá trị nguyên của a bằng cách xét từng giá trị nguyên cho a và kiểm tra xem a² - 5 có phải là bình phương của một số nguyên hay không.
Ví dụ, nếu a = 1, ta có:

a² - 5 = 1² - 5 = -4,

-4 không phải là bình phương của một số nguyên, vì vậy a = 1 không phải là giá trị riêng của đa thức.

Tiếp tục quá trình trên với các giá trị nguyên khác của a, ta sẽ tìm được giá trị của a mà khi thay vào phương trình (x + a)(x - a) + 5 = 0, phương trình có nghiệm nguyên là giá trị riêng.

b) Đối với đa thức (a - x)(5 - x) - 3:
Phân tích thành tích các đa thức bậc nhất có hệ số nguyên của đa thức này cũng tương tự như trên. Ta giải phương trình (a - x)(5 - x) - 3 = 0:

(a - x)(5 - x) - 3 = 0.

Tương tự như trên, ta có thể sử dụng công thức giải nghiệm của phương trình bậc hai:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a).

Ở đây, a = 1, b = 6 - a và c = -3.
Thay vào phương trình, ta có:

x = [(a - 6) ± √((6 - a)² - 4(-3)(1))] / (2)

Sau đó, ta tìm các giá trị của a mà làm cho phương trình có nghiệm nguyên.

a) Ta có :

\(AB=AC\) (Δ ABC cân tại A)

\(\Rightarrow AE+BE=AD+DC\)

mà \(AE=BE\) (CE là trung tuyến nên E là trung điểm AB)

      \(AD=DC\) (BD là trung tuyến nên D là trung điểm AC)

\(\Rightarrow AE=AD\)

Xét Δ ABD và Δ ACE có :

\(AB=AC\) (Δ ABC cân tại A)

Góc A chung

\(AE=AD\left(cmt\right)\)

⇒ Δ ABD = Δ ACE (góc, cạnh, góc)

\(\Rightarrow BD=CE\)

b) Xét tứ giác BCDE có :

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) (Δ ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\))

\(BD=CE\left(cmt\right)\)

⇒ Tứ giác BCDE là hình thang cân

c) Ta có :

CE là trung tuyến Δ ABC

BD là trung tuyến Δ ABC

⇒ ED là đường trung bình Δ ABC

\(\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}BC\)

mà H là trung điểm BC (Δ ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao và trung tuyến)

\(\Rightarrow ED=BH\)

Xét tứ giác BHDE có :

ED song song BH (BCDE là hình thang cân nên ED song song BC)

\(ED=BH\left(cmt\right)\)

⇒ Tứ giác BHDE là hình bình hành.

Mink trình bày theo ý hiểu nhé

Vì MN // AC và MP // AB, ta có các cặp góc tương đương:

=>Góc MNP = Góc BAC (do MN // AC và MP // AB)

=>Góc ANM = Góc ABC (do MN // AC và tam giác ANM là tam giác đồng dạng với tam giác ABC)

=>Góc NPA = Góc MAC (do MP // AB và tam giác MNP là tam giác đồng dạng với tam giác MAB)

Ta có cặp góc tương đương: Góc PAM = Góc CAB (do MP // AB)

=> cặp góc đối nhau:  Góc MNP = Góc BAC và Góc PAM = Góc CAB; Góc MNP = Góc PAM và Góc NPA = Góc ANM.

Vậy tứ giác ANMP là hình bình hành.

b) Để đoạn thẳng NP là nhỏ nhất, điểm M nằm ở trung điểm của BC.

Khi M nằm ở trung điểm của BC (hay AM = MC), ta có tứ giác ANMP là hình bình hành với đường chéo NP.

Trong hình bình hành, đoạn thẳng NP (đoạn chéo) là cực tiểu khi nó bằng chiều cao kẻ từ đỉnh A xuống đoạn thẳng BC. Khi M nằm ở trung điểm của BC, thì AM = MC, tức là đoạn thẳng NP chính là chiều cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A xuống BC.

Vậy để NP là nhỏ nhất, điểm M phải nằm ở trung điểm của BC.