Lời giải:

Nếu $p$ không chia hết cho $3$, tức là $p$ chia $3$ dư $\pm 1$

Khi đó $p^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow p^2+8\vdots 3$

Mà $p^2+8>3$ nên $p^2+8$ không là số nguyên tố (không thỏa mãn giả thiết - loại)

Nếu $p\vdots 3$ thì $p=3, p^2+8=17$ đều là số nguyên tố.

Khi đó $p^2+2=3^2+2=11$ là số nguyên tố (tm)

Vậy ta có đpcm.

a) \(A=111...1555...56\) (n cs 1, n-1 cs 5)

\(A=111...1000...0+555...50+6\) (n cs 1, n cs 0 (không tính số 0 ở số 555...50), n-1 cs 5)

\(A=111...1.10^n+555...5.10+6\) (n cs 1, n-1 cs 5)

\(A=\dfrac{999...9}{9}.10^n+\dfrac{5}{9}.999...9.10+6\) (n cs 9 ở phân số thứ nhất, n-1 cs 9 ở phân số thứ 2)

\(A=\dfrac{10^n-1}{9}.10^n+\dfrac{5}{9}.\left(10^{n-1}-1\right).10+6\)

\(A=\dfrac{\left(10^n\right)^2-10^n+5.10^n-50+54}{9}\)

\(A=\dfrac{\left(10^n\right)^2+4.10^n+4}{9}\)

\(A=\left(\dfrac{10^n+2}{3}\right)^2\)

 Hiển nhiên \(3|10^n+2\) vì \(10^n+2\) có tổng các chữ số bằng 3, suy ra A là số chính phương.

Câu b áp dụng kĩ thuật tương tự nhé bạn.

a) \(\Delta ABE,\Delta ACF\) có \(\widehat{A}\) chung và \(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\left(=90^o\right)\) nên suy ra \(\Delta ABE~\Delta ACF\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\Rightarrow AB.AF=AC.AE\).

b) Từ \(AB.AF=AC.AE\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\). Từ đó suy ra \(\Delta AEF~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

c) Xét tam giác AEF có \(C\in AE,B\in AF,K\in EF\) và \(K,B,C\) thẳng hàng nên áp dụng định lý Menelaus, ta có \(\dfrac{KF}{KE}.\dfrac{CE}{CA}.\dfrac{BA}{BF}=1\)  (1).

 Mặt khác, cũng trong tam giác AEF, có \(C\in AE,B\in AF,I\in EF\) và AI, EB, FC đồng quy nên theo định lý Ceva, \(\dfrac{IF}{IE}.\dfrac{CE}{CA}.\dfrac{BA}{BF}=1\)   (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{KF}{KE}=\dfrac{IF}{IE}\Leftrightarrow KF.IE=KE.IF\)

\(\dfrac{ }{ }\)

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\) (BD là phân giác của góc ABC)

Do đó: ΔBAD=ΔBED

b: ΔBAD=ΔBED

=>BA=BE và DA=DE

BA=BE nên B nằm trên đường trung trực của AE(1)

DA=DE nên D nằm trên đường trung trực của AE(2)

Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của AE

c: DA=DE

mà DE<DC(ΔDEC vuông tại E)

nên DA<DC
d: Xét ΔDAF vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE
AF=EC

Do đó: ΔDAF=ΔDEC

=>\(\hat{ADF}=\hat{EDC}\)

mà \(\hat{EDC}+\hat{EDA}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{ADF}+\hat{ADE}=180^0\)

=>F,D,E thẳng hàng

Ta có: ΔDAF=ΔDEC

=>DF=DC

=>D nằm trên đường trung trực của FC(1)

Ta có: BA+AF=BF

BE+EC=BC

mà BA=BE và AF=EC

nên BF=BC

=>B nằm trên đường trung trực của CF(2)

Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của CF

=>BD⊥CF

\(AB^2=AH^2+BH^2\Rightarrow AH^2=AB^2-BH^2\left(1\right)\left(Pitago\right)\)

\(AC^2=AH^2+CH^2\Rightarrow AH^2=AC^2-CH^2\left(2\right)\left(Pitago\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AC^2-CH^2=AB^2-BH^2\)

\(\Rightarrow AB^2+CH^2=AC^2+BH^2\)

\(\Rightarrow dpcm\)

 Ta có \(AB^2-AC^2=\left(BH^2+AH^2\right)-\left(CH^2+AH^2\right)\) \(=BH^2-CH^2\) \(\Rightarrow AB^2+CH^2=AC^2+BH^2\), đpcm.

 (Bài này kết quả vẫn đúng nếu không có điều kiện tam giác ABC vuông tại A.)

Bài 88: Gọi độ dài của cạnh tam giác vuông cân là: a (cm)  a > 0

             Theo pytago ta có: a² + a² = 2² 

                                             2a²       = 4

                                                a²       =   2

                                               \(\left[{}\begin{matrix}a=\sqrt{2}\\a=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

                                              vì a > 0  nên a = - \(\sqrt{2}\) (loại)

Độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông cân là \(\sqrt{2}\) cm

b, a² + a² = (\(\sqrt{2}\))²

    2a²       =     2

      a²       =      1

       \(\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-1\end{matrix}\right.\)

Vì a > 0 nên a = - 1 loại

Vậy cạnh góc vuông của tam giác vuông cân là 1 cm

a) (2x - 5)² - (5 + 2x) = 0

<=> 4x² - 22x + 20 = 0 

\(\Leftrightarrow\left(2x-\dfrac{11}{2}\right)^2=\dfrac{41}{4}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pm\sqrt{41}+11}{4}\)

b) \(27x^3-54x^2+36x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(3x^2-6x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\) (Vì \(3x^2-6x+4=3\left(x-1\right)^2+1>0\forall x\))

c) x³ + 8 - (x + 2).(x - 4) = 0

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right).\left(x^2-2x+4\right)-\left(x+2\right)\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-3x+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=-2\) (Vì \(x^2-3x+8=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{23}{4}>0\))

d) \(x^6-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2\right)^3-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-1=0\) (Vì \(x^4+x^2+1>0\))

\(\Leftrightarrow x=\pm1\)

\(d,x^6-1=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2\right)^3-1^3=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x+1=0\\x^4+x^2+1=0\left(Vô.lí,vì:x^4\ge0;x^2\ge0,\forall x\in R\right)\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\\ c,\left(x^3+8\right)-\left(x+2\right)\left(x-4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^3+8\right)-\left(x^2-2x-8\right)=0\\ \Leftrightarrow x^3-x^2+2x+16=0\\ \Leftrightarrow x^3+2x^2-3x^2-6x+8x+16=0\\ \Leftrightarrow x^2\left(x+2\right)-3x\left(x+2\right)+8\left(x+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-3x+8\right)\left(x+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-3x+8=0\left(Vô.lí\right)\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-2\)

Ta có :

\(AH^2=AB^2+BH^2\left(1\right)\) (Δ ABH vuông tại H)

\(AH^2=AC^2+CH^2\left(2\right)\) (Δ ACH vuông tại H)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AB^2+BH^2=AC^2+CH^2\)

\(\Rightarrow CH^2=AB^2+BH^2-AC^2\)

\(\Rightarrow CH^2=81+676-121=636\)

\(\Rightarrow CH=\sqrt[]{636}=\sqrt[]{4.159}=2\sqrt[]{159}\left(cm\right)\)

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH \(\perp\) BC \(\equiv\) H

⇒ \(\Delta\) AHB  \(\perp\)  \(\equiv\) H \(\Rightarrow\) AB > BH ⇒  9 cm > 26 cm vô lý

Em có hai sựa lựa chọn: 1 là em chỉ ra cái sai của cô

                                         2 là em xem lại đề bài của em 

\(AH^2=BH.CH=18.32=576\Rightarrow AH=24\left(cm\right)\)

\(AB^2=AH^2+BH^2=576+324=900\) (Δ ABH vuông tại H)

\(\Rightarrow AB=30\left(cm\right)\)

\(AC^2=AH^2+CH^2=576+1024=1600\) (Δ ACH vuông tại H)

\(\Rightarrow AC=40\left(cm\right)\)

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

AH²+HB²=AB²(định lý pythagore) (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H có:

HA²+HC²=AC² (định lý pythagore) (2) 

Từ (1) và (2) ta cộng lại vế theo vế, có:

2AH²+BH²+CH²=AB²+AC²

<=>2AH²+BH²+CH²=BC²

<=> 2AH²+18²+32²=(18+32)²

<=>2AH²+1348=2500

<=>2AH²=2500-1348

<=>2AH²=1152

<=>AH²=1152:2

<=>AH²=576

<=>AH=\(\sqrt{576}\)

<=>AH=24(cm)

-Ta thay AH=24cm vào (1) ta có:

HB²+AH²=AB²

<=>18²+24²=AB²

<=>900=AB²

<=>\(AB=\sqrt{900}=30\)(cm)

-Ta thay AH=24cm vào (2) ta có:

HC²+HA²=AC²

<=>32²+24²=AC²

<=>1600=AC²

\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{1600}=40\left(cm\right)\)

Vậy AB=30cm; AC=40cm