Hình a, b, c là tứ giác lồi

* Hình a:

- Các cạnh: AB, BC, CD, AD

- Các đỉnh: A, B, C, D

- Các góc: \(\widehat{ABC},\widehat{BCD},\widehat{CDA},\widehat{DAB}\)

* Hình b:

- Các cạnh: EF, FG, GH, HE

- Các đỉnh: E, F, G, H

- Các góc: \(\widehat{HEF},\widehat{EFG},\widehat{FGH},\widehat{GHE}\)

* Hình c:

- Các cạnh: \(IJ,JK,KL,LI\)

- Các đỉnh: \(I,J,K,L\)

- Các góc: \(\widehat{LIJ},\widehat{IJK},\widehat{JKL},\widehat{KLI}\)

Tứ giác lồi  ABCD có 4 canh: AB,BC,CD,DA và 4 đỉnh: A,B,C,D và 4 góc \(\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C},\widehat{D}\)

Tứ giác lồi EFGH có 4 canh: EF, FG, GH, HE và 4 đỉnh: E,F,G,H và 4 góc \(\widehat{E},\widehat{F},\widehat{G},\widehat{H}\)

Tứ giác lồi IJKL có 4 canh: IJ, JK, KL, LI và 4 đỉnh I,J,K,L và 4 góc \(\widehat{I},\widehat{J},\widehat{K},\widehat{L}\)

Hình 4 là ngũ giác và hình 5 là tam giác

a: Xét ΔDAB có M,P lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>MP là đường trung bình của ΔDAB

=>MP//AB và \(MP=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔCAB có Q,N lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>QN là đường trung bình của ΔCAB

=>QN//AB và \(QN=\frac{AB}{2}\)

Xét hình thang ABCD có M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>MN là đường trung bình của hình thang ABCD
=>MN//AB//CD và \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)

TA có: MP//AB

MN//AB

mà MP,MN có điểm chung là M

nên M,P,N thẳng hàng(2)

Ta có: QN//AB

MN//AB

mà MN,QN có điểm chung là N

nên M,N,Q thẳng hàng(1)

Từ (1),(2) suy ra M,N,P,Q thẳng hàng

b: Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

\(\hat{ADC}=\hat{BCD}\) (ABCD là hình thang cân)

DC chung

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{ODC}=\hat{OCD}\)

=>ΔOCD cân tại O

Xét ΔODC có PQ//DC

nên \(\frac{OP}{OD}=\frac{OQ}{OC}\)

mà OD=OC

nên OQ=OP

Xét ΔOPQ có OP=OQ và \(\hat{POQ}=60^0\)

nên ΔOPQ đều

E = - \(x^2\) + 2\(x\) - 1                                           

E = - (\(x^2\) - 2\(x\) + 1)

E = - (\(x\) - 1)²

(\(x\) - 1) ≥ 0 ⇒ - (\(x\) - 1)² ≤ 0

E_max = 0 ⇔ \(x\) = 1

Để tìm các điểm tới hạn của hàm E, chúng ta cần tìm các giá trị của x tại đó đạo hàm của E bằng 0.

Lấy đạo hàm của E theo x, ta được:

E' = -2x + 2

Đặt E' bằng 0 và tìm x:

-2x + 2 = 0
-2x = -2
x = 1

Vậy điểm tới hạn của E là x=1.

Để tìm các điểm tới hạn của hàm C, chúng ta cần tìm các giá trị của x tại đó đạo hàm của C bằng 0.

Lấy đạo hàm của C theo x, ta được:

C' = (2x)(3x-10)(3x-16) + (x^2-1)(3)(3x-10) + (x^2-1)(3)(3x-16)

Đặt C' bằng 0 và giải tìm x:

(2x)(3x-10)(3x-16) + (x^2-1)(3)(3x-10) + (x^2-1)(3)(3x-16) = 0

Phương trình này khá phức tạp và không có nghiệm đơn giản. Nó sẽ yêu cầu thao tác đại số hơn nữa hoặc các phương pháp số để tìm các điểm tới hạn của C.

 Sửa đề là \(a+b=5\) nhé.

 Có 2 cách để giải dạng bài này. Cách 1 là từ điều kiện đề cho, giải hệ phương trình tìm được \(a,b\) rồi thay số vào tính. Nhưng trong nhiều trường hợp cách này khá dài dòng nên mình sẽ làm theo cách thứ 2 như sau:

 \(A=a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab=5^2-2.3=19\)

 \(B=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=5^3-3.3.5=80\)

emmm ko bét nữa

 Cách làm chung của các bài từ 1 đến 7 là từ điều kiện đã cho, tính ẩn này theo ẩn kia (hạn chế phân số) rồi thay vào biểu thức cần tìm min (max) rồi quay về dạng toán tìm min (max) của đa thức bậc 2 quen thuộc. Mình mẫu 1 câu nhé:

 1. Tìm min của \(A=3x^2+y^2\)  biết \(3x+y=1\)

Ta có \(3x+y=1\Leftrightarrow y=1-3x\) (hoặc bạn có thể suy ra \(x=\dfrac{1-y}{3}\) nhưng làm như thế khi thay vào biểu thức A sẽ gặp khó khăn) 

Thế \(y=1-3x\) vào A, ta được \(3x^2+\left(1-3x\right)^2=3x^2+1-6x+9x^2=12x^2-6x+1\)

 Tới đây việc tìm min của A chắc mình không cần làm nữa đâu nhỉ?

 Ở bài 8 và 9, việc rút ẩn này theo ẩn kia rồi thay vào sẽ gây khó khăn vì các biến nằm ở dưới mẫu khá khó xét. Để ý rằng giả thiết cho \(a,b>0\), hơn nữa các biến còn có vai trò như nhau trong biểu thức cần tìm min (max) nên ở dạng bài này, ta hay có trò sử dụng các BĐT như Cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki,... Ví dụ:

 8. Cho \(a,b>0\) và \(a+b=4\). Tìm max của \(P=\left(1-\dfrac{1}{a}\right)\left(1-\dfrac{1}{b}\right)\).

Ta thấy \(P=1-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{1}{ab}=1-\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{1}{ab}\) \(=1-\dfrac{4}{ab}+\dfrac{1}{ab}\) \(=1-\dfrac{3}{ab}\). Ta lại có \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}=4\) nên \(\dfrac{3}{ab}\ge\dfrac{3}{4}\) hay \(P=1-\dfrac{3}{ab}\le1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\).

 Riêng câu số 5 mình nhấn mạnh một chút, vì các biến trong biểu thức đã cho có bậc 3 nhưng các biến đối xứng kiểu như thế thì ta sẽ tìm cách đưa về tổng và tích:

 \(C=x^3+y^3+xy=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+xy\) \(=1-3xy+xy=1-2xy\) 

rồi làm như bình thường.

\(3x-5=2x-1\\ 3x-2x=-1+5\\ x=4\)

      3x - 5 = 2x - 1

⇒ 3x - 2x = -1 + 5

⇒          x = 4

    Vậy x = 4

 Để đa thức \(P\left(x\right)=x^2+6x+a\) chia hết cho \(\left(x-2\right)\) thì \(x^2+6x+a\) phải có nghiệm là \(2\)

 Điều này có nghĩa là \(P\left(2\right)=0\Leftrightarrow2^2+6.2+a=0\Leftrightarrow a=-16\)

Bạn xem lại đề xem chứ mình thay \(n=3,4,5,6\) đều không thỏa.

Bài 1 : (4a - b).(4a + b)    = 16a² + (-b²)

       (\(x^2y\) + 2y)(\(x^2\)y - 2y    = \(x^4\).y² + (- 4y²)

   (\(\dfrac{3}{4}\)\(x\) + \(\dfrac{3}{5}\)y)(\(\dfrac{3}{5}\)y - \(\dfrac{3}{4}\)\(x\))     = \(\dfrac{9}{25}\)y² + (- \(\dfrac{9}{16}\)\(x^2\))

    2; (\(x+2\))(\(x^2\) - 2\(x\) + 4)  =       \(x^3\) + 8

         (3\(x\) + 2y)(9\(x^2\) - 6\(xy\) + 4y²)   = 27\(x^3\) + 8y³

       3,  (5- 3\(x\))(25 + 15\(x\) + 9\(x^2\))      = 125 + ( -27\(x^3\))

        (\(\dfrac{1}{2}\)\(x\) - \(\dfrac{1}{5}\)y).(\(\dfrac{1}{4}\)\(x^2\) + \(\dfrac{1}{10}\)\(xy\) + \(\dfrac{1}{25}\)y² =  \(\dfrac{1}{8}\)\(x^3\) + (-\(\dfrac{1}{125}\)y³)

em cảm ơn cô ạ

Lời giải:
1. $9x^2+12x+4=(3x)^2+2.3x.2+2^2=(3x+2)^2$

2. $4y^2-20y+25=(2y)^2-2.2y.5+5^2=(2y-5)^2$

3. $27x^3+54x^2y+36xy^2+8y^3=(3x)^3+3.(3x)^2.2y+3.3x.(2y)^2+(2y)^3$

$=(3x+2y)^3$

4. $\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}x-1=(\frac{1}{2}x)^3-3.(\frac{1}{2}x)^2.1+3.\frac{1}{2}x.1-1^3=(\frac{1}{2}x-1)^3$