a: Xét tứ giác ABCD có \(\hat{ABC}+\hat{ADC}=75^0+105^0=180^0\)

nên ABCD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BAC}=\hat{BDC};\hat{DAC}=\hat{DBC}\)

mà \(\hat{BDC}=\hat{DBC}\) (ΔCBD cân tại C)

nên \(\hat{BAC}=\hat{DAC}\)

=>AC là phân giác của góc BAD

Từ đề bài ta có :

\(a+b+c=0< =>\left(a+b+c\right)^2=0< =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0\)

Mà \(a^2+b^2+c^2=1\)  < = > 1 + 2 ( ab + ac + bc ) = 0

< = > 2 ( ab + ac + bc ) = -1 

< = > ab + ac + bc = -1/2

\(< =>\left(ab+ac+bc\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2< =>\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=\dfrac{1}{4}\)

\(< =>\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{4}\)

\(< =>\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

Lại có từ \(a^2+b^2+c^2=1\)

\(< =>\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=1< =>a^4+b^4+c^4+2\left[\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2\right]=1\)

\(< =>a^4+b^4+c^4+2.\dfrac{1}{4}=1< =>a^4+b^4+c^4+\dfrac{1}{2}=1< =>a^4+b^4+c^4=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

a) Ta có góc B = 105 độ và góc D = 75 độ.
Vì AB = BC = CD, suy ra tam giác ABC và tam giác BCD là tam giác cân.
Do đó, ta có góc ABC = góc BAC và góc BCD = góc BDC.
Vì góc BAC + góc ABC + góc BCA = 180 độ (tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180 độ),
thay giá trị vào ta có góc BAC + góc BAC + góc BCA = 180 độ.
Suy ra góc BAC + góc BCA = 180 độ - góc BAC = góc ABC.
Tương tự, ta có góc BCD + góc BDC = 180 độ - góc BDC = góc BCD.
Vậy ta có góc BAC = góc ABC = góc BCA và góc BCD = góc BDC = góc BCD.
Do đó, AC là tia phân giác của góc A.

b) Ta đã chứng minh được AC là tia phân giác của góc A.
Vì AB = BC = CD, suy ra tam giác ABC và tam giác BCD là tam giác cân.
Vì góc BAC = góc ABC và góc BCD = góc BDC,
nên ta có góc BAC = góc ABC = góc BCA và góc BCD = góc BDC = góc BCD.
Vậy ta có AB || CD.
Do đó, ABCD là hình thang cân.

`M=2(x^3 -y^3 )-3(x^2 +y^2)`

`M=2(x-y)(x^2 +xy+y^2 )-3x^2 -3y^2`

`M=2x^2 +2xy+2y^2 -3x^2 -3y^2`

`M=-x^2 +2xy-y^2`

`M=-(x^2 -2xy+y^2)`

`M=-(x-y)^2`

`M=-(1)^2`

`M=-1`

\(M=2\left(x^3-y^3\right)-3\left(x^2-y^2\right)\)

\(M=2\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-3\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)

\(M=2\left[x^2+x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)^2\right]-3\left(2x-1\right)\)

\(M=2\left(x^2+x^2-x+x^2-2x+1\right)-6x+3\)

\(M=6x^2-12x+5\)

 Đề bài yêu cầu tính giá trị nhưng mình cũng không rõ là giá trị gì nên mình làm đến đây thôi nhé.

Này em phải tự tìm hiểu và luyện nhiều

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2=R^2\)

b: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥CD tại I

Xét tứ giác MAIO có \(\hat{MAO}=\hat{MIO}=90^0\)

nên MAIO là tứ giác nội tiếp

=>M,A,I,O cùng thuộc một đường tròn

c: Xét ΔOIM vuông tại I và ΔOHK vuông tại H có

\(\hat{IOM}\) chung

Do đó: ΔOIM~ΔOHK

=>\(\frac{OI}{OH}=\frac{OM}{OK}\)

=>\(OI\cdot OK=OH\cdot OM\)

=>\(OI\cdot OK=R^2\)

=>\(OI\cdot OK=OC^2\)

=>\(\frac{OI}{OC}=\frac{OC}{OK}\)

Xét ΔOIC và ΔOCK có

\(\frac{OI}{OC}=\frac{OC}{OK}\)

góc IOC chung

Do đó: ΔOIC~ΔOCK

=>\(\hat{OIC}=\hat{OCK}\)

=>\(\hat{OCK}=90^0\)

=>KC là tiếp tuyến của (O)

\(\frac{x^2+1}{x+x^3}-\frac{1}{x^2-x}+\frac{x^4-x^3+x-1}{x-x^3}\)

\(=\frac{x^2+1}{x\left(x^2+1\right)}-\frac{1}{x\left(x-1\right)}-\frac{x^3\left(x-1\right)+\left(x-1\right)}{x^3-x}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x\left(x-1\right)}-\frac{\left(x-1\right)\left(x^3+1\right)}{x\left(x^2-1\right)}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x\left(x-1\right)}-\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x\left(x-1\right)}-\frac{x^2-x+1}{x}\)

\(=\frac{1-x^2+x-1}{x}-\frac{1}{x\left(x-1\right)}=\frac{-x^2+x}{x}-\frac{1}{x\left(x-1\right)}\)

\(=\frac{x\left(-x+1\right)}{x}-\frac{1}{x\left(x-1\right)}=-x+1-\frac{1}{x\left(x-1\right)}=\frac{\left(-x+1\right)\cdot x\left(x-1\right)-1}{x\left(x-1\right)}\)

\(=\frac{-x\left(x-1\right)^2-1}{x\left(x-1\right)}=\frac{-x\left(x^2-2x+1\right)-1}{x\left(x-1\right)}=\frac{-x^3+2x^2-x-1}{x\left(x-1\right)}\)

Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải dạng toán lớp 8 nâng cao chuyên đề chứng minh một tổng chia hết cho một số, cấu trúc đề thi hsg, thi chuyên. Bằng phương pháp gián tiếp quy nạp toán học.

          Bước 1: Thông qua dư liệu đề bài, đưa về một yêu cầu mới tương đương với yêu cầu của đề bài, mà sau đó ta có thể dùng phương pháp quy nạp để chứng minh.

         Bước 2: dùng phương pháp quy nạp để chứng minh

        Bước 3: kết luận

38ⁿ + 1 ⋮ 39 ( ∀ n lẻ);    n lẻ ⇒ n = 2d + 1 ; d \(\in\) N

như vậy cm 38ⁿ + 1 ⋮ 39 \(\forall\) n lẻ nghĩa là cm : 38^{2d + 1}+ 1⋮ 39 ∀ d \(\in\) N

Ta có với d = 1 thì 38^2d+1 + 1 = 38³ + 1 = 54873 ⋮ 39 (đúng)

Giả sử biểu thức đúng với d = k tức là: 38^2k+1 + 1 ⋮ 39

Ta cần chứng minh: biểu thức đúng với d = k + 1 

Tức là chứng minh: 38^2(k+1)+1 + 1 ⋮ 39 

Thật vậy ta có:   38^2(k+1)+1 + 1  = 38^2k+3  + 1  = 38^2k+1. 38² + 1

                 Vì      38^2k+1 + 1 ⋮ 39 

                 ⇒ 38^2k+1 \(\equiv\) -1 (mod 39)   ⁽¹⁾

                   38²       \(\equiv\)  1 (mod 39)       ⁽²⁾

                     1         \(\equiv\)   1 (mod 39 )  ⁽³⁾

  Từ (1); (2); (3) ta có: 38^2k+1.38² + 1 \(\equiv\) (-1).1 + 1  (mod 39)

                                ⇒ 38^2k+1.38² + 1 \(\equiv\) 0 (mod 39 )

                                 ⇒ 38^2k+1.38² + 1 ⋮ 39 

Vậy : 38^2d+1 + 1 ⋮ 39 ∀ d \(\in\) N hay  38ⁿ + 1 ⋮ 39 với \(\forall\) n lẻ (đpcm)

Cũng có thể CM bằng cách sử dụng t/c của hằng đẳng thức :

TQ : \(a^n+b^n⋮a+b\) ( a,b là các số nguyên , \(a\ne-b\) , n lẻ )

Ta có : \(38^n+1=38^n+1^n⋮38+1=39\left(đpcm\right)\)

`(x+3)^{3}+(x+3)^{3}`

`=2(x+3)^{3}`

`=2(x^{3}+6x^{2}+9x+27)`

`=2x^{3}+12x^{2}+18x+54`