5: TA có: \(x^3-x^2-5x+a\vdots x-3\)

=>\(x^3-3x^2+2x^2-6x+x-3+a+3\vdots x-3\)

=>a+3=0

=>a=-3

6: \(n^3-4n^2+5n-1\vdots n-2\)

=>\(n^3-2n^2-2n^2+4n+n-2+1\vdots n-2\)

=>1⋮n-2

=>n-2∈{1;-1}

=>n∈{3;1}

6: \(n^3-4n^2+5n-1\vdots n-2\)

=>\(n^3-2n^2-2n^2+4n+n-2+1\vdots n-2\)

=>1⋮n-2

=>n-2∈{1;-1}

=>n∈{3;1}

a)Ta có: BE, CF là pgiac(gt)

=> ∠CBE=∠FEB\(=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\)

     \(\widehat{BCF}=\widehat{ECF}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\)

Mà ∠ABC=∠ACB(tam giác ABC cân tại A); ∠BCF=∠CBE(cmt)

Ta có: xét tam giác BFC và tam giác CEB có:

+∠FBC=∠ECB (tam cân)

+BC chung

+∠BCF=∠CBE(cmt)

=> tam giác BFC=tam giác CEB (g.c.g)

=>BF=CE(2 cạnh tương ứng)

Mà AB=AC(gt)

=>AB-BC=AC-CE

=>AF=AE

=>tam giác AFE cân tại A

=> \(\widehat{AFE}=\dfrac{1}{2}\left(180^o-\widehat{A}\right)\)

Mà ∠ABC=1/2(180-A)

=>∠AFE=∠ABC

Mà 2 góc ở vị trí đồng vị

=>EF//BC

=>BFEC là hình thang 

Mà ∠CBF=BCE(tam giác cân)

=>BFEC là hình thang cân)

b) Do BFEC là hình thang cân

=>FE//BC; BF=CE(1)

=>góc FEB= góc EBC

Mà BE là pgiac góc B

=>góc FBE=FEB

=> tam giác FBE cân

=>BF=FE (2)

Từ(1);(2)=>BF=FE=EC

Thay x=0;y=1 vào M=-3. ta được:

\(a\cdot0^2+b\cdot1^2+c\cdot0\cdot1=-3\)

=>b=-3

=>\(M=ax^2-3y^2+c\cdot xy\)

Thay x=-2;y=0 vào M=8, ta được:

\(a\cdot\left(-2\right)^2-3\cdot0^2+c\cdot\left(-2\right)\cdot0=8\)

=>4a=8

=>a=2

=>\(M=2x^2-3y^2+c\cdot xy\)

Thay x=1;y=-1 vào M=0, ta được:

\(2\cdot1^2-3\cdot\left(-1\right)^2+c\cdot1\cdot\left(-1\right)=0\)

=>2-3-c=0

=>-1-c=0

=>c+1=0

=>c=-1

vì khi \(a=1\Rightarrow a^4+4a=1^5+4.1=5\) (là số nguyên tố)

\(\Rightarrow m\ne5\Rightarrow a^4+4a\ne5\Rightarrow a\left(a^3+4\right)\ne5\Rightarrow a\ne1\left(a\in Z\right)\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}a^4⋮n\left(a\ne1\Rightarrow n\ne1;n\in Z\right)\\4a⋮4\&a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^4+4a\) không là số nguyên tố

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức GTNNH=(x-2)(x+1)(x-2)(x+5), ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số.

Đầu tiên, ta tính toán đạo hàm của hàm số GTNNH theo biến x:
GTNNH' = (x+1)(x-2)(x+5) + (x-2)(x+1)(x+5) + (x-2)(x+1)(x-2)

Tiếp theo, ta giải phương trình GTNNH' = 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số:
(x+1)(x-2)(x+5) + (x-2)(x+1)(x+5) + (x-2)(x+1)(x-2) = 0

Sau khi giải phương trình trên, ta thu được các giá trị của x là -5, -1 và 2.

Tiếp theo, ta tính giá trị của GTNNH tại các điểm cực trị và so sánh để tìm giá trị nhỏ nhất:
GTNNH(-5) = (-5-2)(-5+1)(-5-2)(-5+5) = 0
GTNNH(-1) = (-1-2)(-1+1)(-1-2)(-1+5) = 0
GTNNH(2) = (2-2)(2+1)(2-2)(2+5) = 0

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức GTNNH=(x-2)(x+1)(x-2)(x+5) là 0.

\(\left(xy\sqrt{6}\right)^2-\left(x^2+4y^2-1\right)^2=\left(xy\sqrt{6}+x^2+4y^2-1\right)\left(xy\sqrt{6}-x^2-4y^2+1\right)\)

Bài này ko thể giải được thành 4 nhân tử.

Số p4 có 5 ước số tự nhiên là 1 , p, p2 , p3 , p4
Ta có : 1 + p + p2 + p3 + p4 = n2     (n ∈ N)
Suy ra : 4n2 = 4p4 + 4p3 + 4p2 + 4p + 4 > 4p4 + 4p3 + p2 = (2p2 + p)2
Và  4n2 < 4p4 + p2 + 4 + 4p3 + 8p2 + 4p = (2p2 + p + 2)2.
Vậy : (2p2 + p)2 < (2n)2  < (2p2 + p + 2)2.
Suy ra :(2n)2 = (2p2 + p + 2)2 = 4p4 + 4p3 +5p2 + 2p + 1

vậy 4p4  + 4p3 +5p2 + 2p + 1 = 4p4 + 4p3 +4p2 +4p + 4   (vì cùng bằng 4n2 )

=> p2 - 2p - 3 = 0  => (p + 1) (p - 3) = 0

do p > 1  => p - 3 = 0   => p = 3

THeo đề bài ta có

\(n+18=p^2\)

\(n-41=q^2\)

\(\Rightarrow p>q\)

\(\Rightarrow n+18-\left(n-41\right)=59=p^2-q^2\)

\(\Rightarrow\left(p-q\right)\left(p+q\right)=59=1.59\)

TH1

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p-q=1\\p+q=59\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=30\\q=29\end{matrix}\right.\)

Thay p=30 vào \(n+18=p^2\)

\(\Rightarrow n+18=900\Rightarrow n=900-18=882\)

TH2

\(\left\{{}\begin{matrix}p-q=59\\p+q=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=30\\q=-29\end{matrix}\right.\)

Giống TH1 có n=882

Ta có: \(B=\left(n^2-8\right)^2+36\)

\(=n^4-16n^2+64+36\)

\(=n^4+20n^2+100-36n^2\)

\(=\left(n^2+10\right)^2-\left(6n\right)^2=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để B là số nguyên tố thì một trong hai thừa số \(n^2-6n+10;n^2+6n+10\) phải bằng 1 và thừa số còn lại là số nguyên tố

TH1: \(n^2-6n+10=1\)

=>\(n^2-6n+9=0\)

=>\(\left(n-3\right)^2=0\)

=>n-3=0

=>n=3(nhận)

Khi n=3 thì \(n^2+6n+10=3^2+6\cdot3+10=9+18+10=10+27=37\) là số nguyên tố

=>Nhận

TH2: \(n^2+6n+10=1\)

=>\(n^2+6n+9=0\)

=>\(\left(n+3\right)^2=0\)

=>n+3=0

=>n=-3(loại)

Vậy: n=3