A B C H E F I M K

1/

Xét tg vuông ABH có

\(AH^2=AE.AB\)  (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông ACH có

\(AH^2=AF.AC\)  (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\) (cùng bằng \(AH^2\) )

2/

\(HE\perp AB\) (gt)

\(AC\perp AB\) (gt) \(\Rightarrow AF\perp AB\)

=> AF//HE (cùng vuông góc với AB) (1)

Ta có

\(HF\perp AC\) (gt)

\(AB\perp AC\) (gt) \(\Rightarrow AE\perp AC\)

=> AE//HF (cùng vuông góc với AC) (2)

Từ (1) và (2) => AEHF là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hình bình hành )

=> AE = HF

Xét tg vuông AHC có

\(HF^2=AF.FC\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow AE^2=AF.FC\)

3/

E; F cùng nhìn AH dưới góc \(90^o\)

=> AEHF là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{EFH}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EH) (1)

\(\widehat{AEF}=\widehat{EFH}\) (góc so le trong) (2)

\(\widehat{AEF}=\widehat{IEB}\) (góc đối đỉnh) (3)

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) ) (4)

Xét tg IBE và tg IFC có

Từ (1) (2) (3) (4) \(\Rightarrow\widehat{IEB}=\widehat{ACB}\)

\(\widehat{EIB}\) chung

=> tg IBE đồng dạng với tg IFC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{IE}{IC}=\dfrac{IB}{IF}\Rightarrow IE.IF=IB.IC\)

4/

Ta có

\(\widehat{BAK}+\widehat{BAM}=\widehat{MAK}=90^o\)

\(\widehat{CAM}+\widehat{BAM}=\widehat{BAC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAK}=\widehat{CAM}\)

Mà \(AM=\dfrac{BC}{2}=MB=MC\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

=> tg AMC cân tại M \(\Rightarrow\widehat{CAM}=\widehat{ACM}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{BAK}\)

Xét tg ABK và tg ACK có

\(\widehat{AKC}\) chung

\(\widehat{BAK}=\widehat{ACM}\) (cmt)

=> tg ABK đồng dạng với tg ACK (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{KB}{AK}=\dfrac{AK}{KC}\Rightarrow AK^2=KB.KC\)

Xét tg vuông AKM có

\(AK^2=KH.KM\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow KH.KM=KB.KC\)

c: Xẻt ΔACN vuông tại C có CB là đường cao

nên \(AB\cdot AN=AC^2\)

=>\(AB=\frac{AC^2}{AN}\)

=>\(CD=\frac{AC^2}{AN}\)

Xét ΔCAM vuông tại C có CD là đường cao

nên \(AD\cdot AM=AC^2\)

=>\(AD=\frac{AC^2}{AM}\)

mà AD=BC(ABCD là hình chữ nhật)

nên \(BC=\frac{AC^2}{AM}\)

Xét ΔAMN vuông tại A có AC là đường cao

nên \(AM\cdot AN=AC\cdot MN\)

\(CD\cdot CB=\frac{AC^2}{AN}\cdot\frac{AC^2}{AM}\)
\(=\frac{AC^4}{AC\cdot MN}=\frac{AC^3}{MN}\)

Câu 1:

a: ΔAHB vuông tại H

=>\(AB^2=AH^2+HB^2\)

=>\(BH^2=30^2-24^2=\left(30-24\right)\left(30+24\right)=6\cdot54=6\cdot6\cdot9=6^2\cdot3^2=18^2\)

=>BH=18(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(18\cdot BC=30^2=900\)

=>\(BC=\frac{900}{18}=50\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔHAB vuông tại H có \(\sin HAB=cosB=\frac{HB}{AB}=\frac{18}{30}=\frac35\)
\(cosHAB=\sin B=\frac{AH}{AB}=\frac{24}{30}=\frac45\)

tan HAB=cot B\(=\frac{HB}{AH}=\frac{18}{24}=\frac34\)

cot HAB=tan B\(=\frac{AH}{HB}=\frac{24}{18}=\frac43\)

Bài 2:

a: BH+HC=BC

=>BC=4+9=13(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BA^2=4\cdot13=52\)

=>\(BA=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔCAB vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=13^2-\left(2\sqrt{13}\right)^2=169-52=117\)

=>\(AC=3\sqrt{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có sin C\(=\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

nên \(\hat{C}\) ≃34 độ

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{B}+\hat{C}=90^0\)

=>\(\hat{B}=90^0-34^0=56^0\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có HA là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH=\frac{3^2}{5}=1,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔBHA vuông tại H có HM là đường cao

nên \(BM\cdot BA=BH^2\)

=>\(BM=\frac{1.8^2}{3}=\frac{3.24}{3}=1.08\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(HN\cdot AC=HA\cdot HC\)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(HM\cdot AB=HA\cdot HB\)

\(HM\cdot AB+HN\cdot AC\)

\(=HA\cdot HC+HA\cdot HB\)

\(=HA\left(HB+HC\right)=HA\cdot BC\)

c: ΔHMB vuông tại M

mà MQ là đường trung tuyến

nên MQ=QH

=>ΔQMH cân tại Q

=>\(\hat{QMH}=\hat{QHM}\)

mà \(\hat{QHM}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị, HM//AC)

nên \(\hat{QMH}=\hat{ACB}\)

ΔCNH vuông tại N

mà NK là đường trung tuyến

nên KN=KH

=>ΔKNH cân tại K

=>\(\hat{KNH}=\hat{KHN}\)

mà \(\hat{KHN}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, HN//AB)

nên \(\hat{KNH}=\hat{ABC}\)

Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>\(\hat{NMH}=\hat{NAH}\)

=>\(\hat{NMH}=\hat{HAC}\)

AMHN là hình chữ nhật

=>\(\hat{MNH}=\hat{MAH}=\hat{HAB}\)

\(\hat{KNM}=\hat{KNH}+\hat{MNH}\)

\(=\hat{HAB}+\hat{HBA}=90^0\)

=>KN⊥NM

\(\hat{NMQ}=\hat{NMH}+\hat{QMH}\)

\(=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

=>MN⊥MQ

mà KN⊥NM

nên KN//MQ

\(\sqrt[]{5-x^6}+\sqrt[]{3x^4-2}=1\left(1\right)\)

Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}5-x^6\ge0\\3x^4-2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^6\le5\\x^4\ge\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)  \(\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt[6]{5}\le x\le\sqrt[6]{5}\\\left[{}\begin{matrix}x\le-\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\\x\ge\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-\sqrt[6]{5}\le x\le-\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\\\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\le x\le\sqrt[6]{5}\end{matrix}\right.\) \(\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) thỏa \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-x^6\le1\\3x^4-2\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^6\le4\\x^4\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\sqrt[3]{2}\\0\le x\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0\le x\le1\left(3\right)\)

\(\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\le x\le1\) \(\Rightarrow\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}< x< 1\)

thanks

Dùng phương pháp đánh giá để giải phương trình này em nhé.

\(x\) + \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\) = 3 (đk \(x\ge0\))

Với \(x\) = 1 ta có: 

\(x\) + \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\) = 1+ \(\sqrt{3+\sqrt{1}}\)  = 1+ \(\sqrt{4}\) =1 + 2 = 3(thỏamãn)

Với 0\(\le\) \(x\) < 1 ta có:

    0  ≤ \(\sqrt{x}\) < 1 

   ⇒  \(\sqrt{3}\) ≤ \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\) < \(\sqrt{3+1}\)

  ⇒   \(\sqrt{3}\) \(\le\) \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\) < 2

        0     ≤  \(x\) < 1

Cộng vế với vế ta có:

        \(\sqrt{3}\)  ≤ \(x\) + \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\)  < 3 (loại)

Với \(x\) > 1 ta có: \(\sqrt{x}\) > 1 

⇒ \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\) > \(\sqrt{3+1}\) > 2

                \(x\) > 1

Cộng vế với vế ta có: \(x\) + \(\sqrt{3+\sqrt{x}}\) > 2 + 1 = 3 (loại)

Vậy \(x\) = 1 là nghiệm duy nhất thỏa mãn phương trình

Kết luận: Phương trình có nghiệm  duy nhất là \(x\) = 1

Ta có : số mol Fe2O3=16/160=0.1 mol
PTHH: Fe2O3+3H2SO4=>Fe2(SO4)3+3H2
              0.1       0.3                                        mol 
mdd H2SO4=0.3x98:20%=147g

Để tính số gam dung dịch H2SO4 cần thiết để hoà tan hoàn toàn 16 gam Fe2O3, ta sử dụng phương trình phản ứng sau: Fe2O3 + 3H2SO4 -> Fe2(SO4)3 + 3H2O Theo phương trình trên, ta thấy 1 mol Fe2O3 tương ứng với 3 mol H2SO4. Ta cần tìm số mol H2SO4 cần thiết để hoà tan 16 gam Fe2O3. Khối lượng mol của Fe2O3 = 2 x khối lượng nguyên tử Fe + khối lượng nguyên tử O = 2 x 55.85 + 16 = 159.7 g/mol Số mol Fe2O3 = khối lượng Fe2O3 / khối lượng mol Fe2O3 = 16 / 159.7 ≈ 0.1 mol Số mol H2SO4 cần thiết = 3 x số mol Fe2O3 = 3 x 0.1 = 0.3 mol Dung dịch H2SO4 có nồng độ 20%, tức là có 20 gam H2SO4 trong 100 gam dung dịch. Vậy trong 1 gam dung dịch H2SO4 có 0.2 gam H2SO4. Số gam dung dịch H2SO4 cần thiết = số mol H2SO4 cần thiết x khối lượng mol H2SO4 x 100 / % nồng độ H2SO4 = 0.3 x 98 x 100 / 20 = 147 gam. Vậy cần ít nhất 147 gam dung dịch H2SO4 20% để hoà tan hoàn toàn 16 gam Fe2O3.

Để giải bài toán này, ta cần xác định công thức hóa học của chất rắn Y và muối trung hòa trong dung dịch Z.

Gọi số mol của MgCO3 trong hỗn hợp X là n1, số mol của RCO3 trong hỗn hợp X là n2.

Theo đề bài, ta có:
Khối lượng của MgCO3 trong hỗn hợp X là: m1 = n1 * MM(MgCO3)
Khối lượng của RCO3 trong hỗn hợp X là: m2 = n2 * MM(RCO3)

Vì các phản ứng xảy ra hoàn toàn nên ta có:
n1 mol MgCO3 + n2 mol RCO3 + H2SO4 → Y + Z

Theo đề bài, khối lượng rắn Y thu được là 23,3 gam, vậy ta có:
m1 + m2 = 23,3

Theo đề bài, dung dịch Z chứa m gam bạc trung hòa, vậy ta có:
m = m1 + m2

Ta có công thức hóa học của trung hòa trong dung dịch Z là:
Z = MgSO4 + R2SO4

Do đó ta có hệ thống phương tiện:
m1 + m2 = 23,3
m = m1 + m2

This method system, ta has:
m1 = 23,3 - m2
m = 23,3 - m2 + m2 = 23,3

Vậy m = 23,3 gam.