Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:

• Do EF là đường phân giác của tam giác ABC, nên theo định lí phân giác, ta có: ∠EBF = ∠ECF.
• Tương tự, do EF là đường phân giác, nên ∠EAF = ∠EAC + ∠CAF = ∠EBC + ∠CBF = ∠EBF + ∠CBF = ∠ECF + ∠CBF = ∠ECB.
• Vì ∠EBF = ∠ECB, nên tam giác EBF đồng dạng với tam giác ECB (theo góc - góc).
• Tương tự, ta cũng có tam giác ECF đồng dạng với tam giác BCF.

Từ đó, ta có tỷ số đồng dạng:
EB/EC = BF/BC
EC/EB = CF/BC

Kết hợp hai tỷ số trên, ta có:
(BF/BC) * (EC/EB) = 1

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác EFN và đường NP, ta có:
(AF/FN) * (NP/PE) * (EQ/QF) = 1

Vì N là trung điểm của AC, nên AF = FN. Khi đó, ta có:
(NP/PE) * (EQ/QF) = 1

Từ đó, ta suy ra:
NP/PE = QF/EQ

Do đó, tam giác NPE đồng dạng với tam giác QFE (theo tỷ số cạnh bên).

Vì tam giác NPE đồng dạng với tam giác QFE, nên ∠NEP = ∠QEF.

Ta có:
∠NEP + ∠PEO + ∠QEF + ∠FEO = 180° (tổng các góc trong tam giác)
∠NEP + ∠PEO + ∠NEP + ∠FEO = 180° (vì ∠NEP = ∠QEF)
2∠NEP + ∠PEO + ∠FEO = 180°

Vì ∠PEO + ∠FEO = ∠POE = 90° (do OI là đường tiếp tuyến của (O)), nên ta có:
2∠NEP + 90° = 180°
2∠NEP = 90°
∠NEP = 45°

Vậy, ta có ∠NEP = 45°. Từ đó, suy ra ∠NEP = ∠QEA = 45°.

Vì ∠QEA = 45°, nên AQ ⊥ OI.

Vậy, ta đã chứng minh được AQ ⊥ OI.

Theo đề bài, giá mà bạn chia đôi số tiền mua 1 nửa lê và 1 nửa táo đã tăng thêm 6 quả nữa. Điều này có thể hiểu là số tiền ban đầu để mua 1 nửa lê và 1 nửa táo là (x/2 * 5000) + (y/2 * 3000), và sau khi tăng thêm 6 quả, số tiền để mua 1 nửa lê và 1 nửa táo là ((x/2 + 6) * 5000) + ((y/2 + 6) * 3000).

Theo đề bài, ta có phương trình:
(x/2 * 5000) + (y/2 * 3000) + 6 * (5000 + 3000) = ((x/2 + 6) * 5000) + ((y/2 + 6) * 3000)

Giải phương trình trên, ta có:
2500x + 1500y + 54000 = 2500x + 1500y + 36000 + 9000

Simplifying, ta được:
54000 = 45000 + 9000
54000 = 54000

Phương trình trên đúng với mọi giá trị của x và y, điều này có nghĩa là không có ràng buộc về số lượng quả lê và quả táo mà Hồng đã mua.

Vậy, không thể xác định được số tiền Hồng đã mua để mua hết quả lê.