a; Xét (O) có

ΔAFB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAFB vuông tại F

=>FB⊥IA tại F

Xét tứ giác AFEH có \(\hat{AFE}+\hat{AHE}=90^0+90^0=180^0\)

nên AFEH là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAIB có

BF,IH là các đường cao

BF cắt IH tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔAIB

=>AE⊥IB

Xét tứ giác BHFI có \(\hat{BHI}=\hat{BFI}=90^0\)

nên BHFI là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BFH}=\hat{BIH}\)

mà \(\hat{BIH}=\hat{BAE}\left(=90^0-\hat{IBA}\right)\)

nên \(\hat{BFH}=\hat{BAE}\)

Xét ΔBHE vuông tại H và ΔBFA vuông tại F có

\(\hat{HBE}\) chung

Do đó: ΔBHE~ΔBFA

=>\(\frac{BH}{BF}=\frac{BE}{BA}\)

=>\(BH\cdot BA=BF\cdot BE\)

c: Xét ΔHIA vuông tại H và ΔHBE vuông tại H có

\(\hat{HIA}=\hat{HBE}\left(=90^0-\hat{IAB}\right)\)

Do đó: ΔHIA~ΔHBE

IFEM là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{IFE}+\hat{IME}=180^0\)

=>\(\hat{IME}=180^0-90^0=90^0\)

=>AE⊥IB tại M

=>ΔAMB vuông tại M

=>M nằm trên đường tròn đường kính AB

=>M nằm trên (O)

Gọi số bộ quần áo tổ 1 cần may theo dự định là x(bộ), số bộ quần áo tổ 2 cần may theo dự định là y(bộ)

(Điều kiện: x,y∈N*)

Tổng số bộ quần áo hai tổ cần may theo dự định là 800 bộ nên x+y=800(1)

Số bộ quần áo tổ 1 may được trong thực tế là:

\(x\left(1+20\%\right)=1,2x\) (bộ)

Số bộ quần áo tổ 2 may được trong thực tế là:

\(y\left(1-15\%\right)=0,85y\) (bộ)

Tổng số bộ quần áo hai tổ may được là 785 bộ nên 1,2x+0,85y=785(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}x+y=800\\ 1,2x+0,85y=785\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}1,2x+1,2y=960\\ 1,2x+0,85y=785\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}1,2x+1,2y-1,2x-0,85y=960-785\\ x+y=800\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}0,35y=175\\ x+y=800\end{cases}\)

=>y=500(nhận) và x=800-500=300(nhận)

Vậy: số bộ quần áo tổ 1 cần may theo dự định là 300(bộ), số bộ quần áo tổ 2 cần may theo dự định là 500(bộ)

1: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

2: Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

=>OA⊥ Ax tại A

Xét (O) có

\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)

mà \(\hat{ABC}=\hat{AEF}\left(=180^0-\hat{FEC}\right)\)

nên \(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//FE

=>OA⊥EF

3; Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BA⊥BK

mà CH⊥BA

nên CH//BK

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>CA⊥CK

mà BH⊥CA
nên BH//CK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HK

=>H,M,K thẳng hàng

1) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình : 

$x^2 = x + 2 ⇔ x^2 - x - 2 = 0 ⇔ x = 2$ hoặc $x = 1$

Với $x = 1, y = 1^2 = 1$ ; $x = 2, y = 2^2 = 4$

Vậy tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là hai điểm có tọa độ $(1;1$ và $(2;4)$

2)

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2x+my=2m^2\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)x=2m^2-m-1\\y=-mx+2m\end{matrix}\right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $m^2 - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1$ và $m ≠ -1$

Suy ra : 

$x = \dfrac{2m^2 - m - 1}{m^2 - 1} = \dfrac{2m+1}{m+1} = 2 - \dfrac{1}{m+1}$

Do x nhận giá trị nguyên nên $(m+1) ∈ Ư(1) = {1,-1}$

Suy ra : m = 0 hoặc m = -2

Gọi số sản phẩm tổ một và tổ 2 làm được lần lượt là \(a,b\left(a,b\inℕ^∗\right)\)

Ta có:

\(a+10\%a+b+20\%b=685\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)+10\%a+20\%b=685\)

\(\Rightarrow600+10\%a+10\%b+10\%b=685\)

\(\Rightarrow10\%a+10\%b+10\%b=85\)

\(\Rightarrow10\%\left(a+b\right)+10\%b=85\)

\(\Rightarrow10\%\cdot600+10\%b=85\)

\(\Rightarrow60+10\%b=85\)

\(\Rightarrow10\%b=25\)

\(\Rightarrow b=250\)

\(\Rightarrow a=\left(a+b\right)-b=600-250=350\)

Vậy trong tháng đầu, tổ một làm được 350 sản phẩm, tổ hai làm được 250 sản phẩm.

ĐKXĐ \(x\ge0;x\ne4\)

1. Với x = 25 : 

\(A=\dfrac{\sqrt{25}+1}{25-4}=\dfrac{2}{7}\)

2. \(B=\dfrac{18-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x+2}\right)}+\dfrac{4\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(2-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+2}\right)}+\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{18-\sqrt{x}-4\left(\sqrt{x}+2\right)+\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{x-4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

3.\(P=A.B=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-4}.\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\)

<=> 4P = \(\dfrac{4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}=\dfrac{x+4\sqrt{x}+4-x}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}=1-\dfrac{x}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\le1\)(Do \(x\ge0\))

<=> \(P\le\dfrac{1}{4}\)("Dấu "=" xảy ra <=> x = 0)  

\(5\sqrt{x^5+x^3+x^2+1}=2\sqrt{x^6+5x^4+8x^2+4}\) \(\left(x\ge-1\right)\)

\(5\sqrt{\left(x^3+1\right)\left(x^2+1\right)}=2\sqrt{\left(x^4+4x^2+4\right)\left(x^2+1\right)}\)  

\(5\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=2\left(x^2+2\right)\) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+1>0\\x^2+2>0\end{matrix}\right.\)

\(5\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=2\left(x+1+x^2-x+1\right)\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\ge0\\\sqrt{x^2-x+1}=b>0\end{matrix}\right.\)

\(pt\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)=5ab\)

     \(\Leftrightarrow\left(2a-b\right)\left(a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2a=b\\a=2b\end{matrix}\right.\)

Đến thay a,b vào bình phương xong dùng delta thoi :)

Sửa đề: cắt tia đối của tia AB tại N, cắt AC tại E. MN cắt (O) tại F và K

a: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại A

=>CA⊥NB tại A

xét tứ giác ABME có \(\hat{EAB}+\hat{EMB}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABME là tứ giác nội tiếp

=>A,B,E,M cùng thuộc một đường tròn

Xét tứ giác NAMC có \(\hat{NAC}=\hat{NMC}=90^0\)

nên NAMC là tứ giác nội tiếp

=>N,A,M,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

\(\hat{HAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AH và dây cung AC

\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

=>\(\hat{HAC}=\hat{ABC}\)

mà \(\hat{ABC}=\hat{AEH}\left(=180^0-\hat{AEM}\right)\)

nên \(\hat{AHE}=\hat{AEH}\)

=>ΔAHE cân tại A