Lời giải:

Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a$

BĐT cần chứng minh tương đương với:
$(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2+2\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

$\Leftrightarrow a^2+2\geq 3a$

$\Leftrightarrow a^2-3a+2\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-1)(a-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1)(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(x^2-xy+y^2)(x-y)^2}{x^2y^2}\geq 0$

Điều này luôn đúng do:
$(x-y)^2\geq 0$

$x^2y^2>0$

$x^2-xy+y^2=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2>0$ với mọi $x,y\neq 0$

Do đó ta có đpcm.

a: Xét hình thang AEFB có

O là trung điểm của AB

OC//EA//BF

Do đó: C là trung điểm của EF

=>CE=CF

b: Sửa đè: AC là phân giác của góc EAH

Ta có: AE//OC

=>\(\hat{EAC}=\hat{OCA}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{OCA}=\hat{OAC}\) (ΔOAC cân tại O)

nên \(\hat{EAC}=\hat{HAC}\)

=>AC là phân giác của góc EAH

c: Ta có: OC//BF

=>\(\hat{FBC}=\hat{OCB}\)

mà \(\hat{OCB}=\hat{OBC}\) (ΔOBC cân tại O)

nên \(\hat{FBC}=\hat{OBC}\)

=>BC là phân giác của góc HBF

Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCEA vuông tại E có

CA chung

\(\hat{HCA}=\hat{ECA}\)

Do đó: ΔCHA=ΔCEA

=>AE=AH

Xét ΔBHC vuông tại H và ΔBFC vuông tại F có

BC chung

\(\hat{HBC}=\hat{FBC}\)

Do đó: ΔBHC=ΔBFC

=>BH=BF

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(HA\cdot HB=CH^2\)

=>\(CH^2=AE\cdot BF\)

Sửa đề: ΔABC cân tại A

a: ΔABC cân tại A

=>AB=AC=40cm

ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>\(HB=HC=\frac{48}{2}=24\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2=40^2-24^2=\left(40-24\right)\left(40+24\right)=16\cdot64=4^2\cdot8^2=32^2\)

=>AH=32(cm)

b: Gọi AD là đường kính của (O)

=>O là trung điểm của AD

Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: HB=HC

=>H nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,H,O thẳng hàng

=>A,H,O,D thẳng hàng

Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

Xét ΔABD vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AD=AB^2\)

=>\(AD=\frac{40^2}{32}=\frac{1600}{32}=50\left(\operatorname{cm}\right)\)

=>\(AO=\frac{AD}{2}=25\left(\operatorname{cm}\right)\)

Vì AO<AH

nên O nằm giữa A và H

=>AO+OH=AH

=>OH=32-25=7(cm)

=>KHoảng cách từ O đến BC là 7cm

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox và Oy

\(\Rightarrow y_A=0\Rightarrow\left(m^2+2\right)x_A+1=0\Rightarrow x_A=-\dfrac{1}{m^2+2}\Rightarrow OA=\left|x_A\right|=\dfrac{1}{m^2+2}\)

\(x_B=0\Rightarrow y_B=\left(m^2+2\right).0+1=1\Rightarrow OB=\left|y_B\right|=1\)

\(\Rightarrow S_{\Delta OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{m^2+2}.1=\dfrac{1}{8}\)

\(\Rightarrow m^2+2=4\Rightarrow m^2=2\)

\(\Rightarrow m=\pm\sqrt[]{2}\)

Lời giải:

\(P=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}-\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}+\frac{12(\sqrt{3}-3)}{(\sqrt{3}+3)(\sqrt{3}-3)}\)

\(=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1}-\frac{\sqrt{3}+2}{3-2^2}+\frac{12(\sqrt{3}-3)}{3-3^2}\)

\(=(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+2)-2(\sqrt{3}-3)=7\)

1. Tác giả , vài nét và sự nghiệp sáng tác của tác giả:

- Nguyễn Thành Long (1925-1991) còn có một số bút danh khác như Lưu Quỳnh, Phan Minh Thảo.

- Quê quán: huyện Duy Xuyên, tỉnh Quảng Nam.

- Sự nghiệp sáng tác:

+ Sau cách mạng tháng Tám, ông tham gia hoạt động văn nghệ.

+ Sau 1954, Nguyễn Thành Long chuyển về sáng tác và biên tập ở các báo chí, nhà xuất bản.

+ Năm 2008, ông được Nhà nước truy tặng Huân chương Lao động hạng Nhì.

+ Các tác phẩm tiêu biểu: “Bát cơm Cụ Hồ”, “Giữa trong xanh”, “Gió bấc gió nồm” …

- Ông chuyên viết về truyện ngắn và kí. Đặc sắc trong truyện ngắn của ông là luôn tạo ra những hình tượng đẹp đẽ, ngôn ngữ rất giàu chất thơ, trong trẻo và nhẹ nhàng.

 2.Hoàn cảnh sáng tác:

Truyện được viết năm 1970, là kết quả chuyến đi lên Lào Cai của tác giả. Tác phẩm được in trong tập “Giữa trong xanh”

3. máy nhật quang kí là máy đo cường độ ánh sáng mặt trời