x⁴ - x³ - x + 1

= x³.(x-1) - ( x -1)

= (x-1).(x³ -1)

=(x-1)(x-1)(x²+x+1)

9.(x-5)²  -( x-7)²

={ 3.(x-5)}² - (x-7)²

= [ 3.(x-5) - x + 7][3.(x-5) + x-7]

= (3x -15 - x + 7)( 3x - 15 + x -7)

= (2x -8)(4x - 22)

    (x² + 2x - y² + 1) : (x + y + 1)

= { (x² + 2x + 1) -y²) : (x +y +1)

= { (x +1)² -y² } : (x + y+1)

= ( x + 1 - y)( x +1+y) : (x+ 1+y)

= x + 1 - y

Ta có: \(\left(2x^2-5x+3\right)^4:\left\lbrack\left(2x-3\right)^3\cdot\left(x-1\right)^2\right\rbrack\)

\(=\frac{\left(2x^2-5x+3\right)^4}{\left(2x-3\right)^3\cdot\left(x-1\right)^2}\)

\(=\frac{\left\lbrack\left(2x-3\right)\left(x-1\right)\right\rbrack^4}{\left(2x-3\right)^3\cdot\left(x-1\right)^2}=\frac{\left(2x-3\right)^4\cdot\left(x-1\right)^4}{\left(2x-3\right)^3\cdot\left(x-1\right)^2}\)

\(=\left(2x-3\right)\left(x-1\right)^2=\left(2x-3\right)\left(x^2-2x+1\right)\)

\(=2x^3-4x^2+2x-3x^2+6x-3=2x^3-7x^2+8x-3\)

Ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Tương tự ta cũng có:

\(b^2+c^2\ge2bc\) . Dấu "=" xảy ra khi \(b=c\)

\(c^2+a^2\ge2ca\) . Dấu "=" xảy ra khi \(c=a\)

Suy ra: 

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) . đpcm

x:Sửa đề: \(\left(x^2+4x+8\right)^2+3x\left(x^2+4x+8\right)+2x^2\)

\(=\left(x^2+4x+8\right)^2+2x\left(x^2+4x+8\right)+x\left(x^2+4x+8\right)+2x^2\)

\(=\left(x^2+4x+8\right)\left(x^2+4x+8+2x\right)+x\left(x^2+4x+8+2x\right)\)

\(=\left(x^2+6x+8\right)\left(x^2+5x+8\right)=\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x^2+5x+8\right)\)

z: (x-7)(x-5)(x-4)(x-2)-72

\(=\left(x^2-9x+14\right)\left(x^2-9x+20\right)-72\)

\(=\left(x^2-9x\right)^2+34\left(x^2-9x\right)+280-72\)

\(=\left(x^2-9x\right)^2+34\left(x^2-9x\right)+208\)

\(=\left(x^2-9x+26\right)\left(x^2-9x+8\right)=\left(x-1\right)\left(x-8\right)\left(x^2-9x+26\right)\)

Đổi thời gian: \(30p=0,5h\)

Quãng đường bạn học sinh đi từ nhà tới trường là:

\(12.0,5=6km\)

Đs....

Tóm tắt :

`v = 12km//h`

`t=30(phút) =0,5(giờ)`

`__________________`

`S=??? (km)

Giải:

Quãng đg từ nhà tới trường là:

`S=v.t=12*0,5 =6(km)`

Vậy Quãng đg từ nhà tới trường cả bạn học sinh là 6km

Ta có: a+b=1

=>\(\left(a+b\right)^2=1\)

=>\(a^2+b^2+2ab=1\)

=>\(a^2+b^2=1-2ab\)

Ta có: \(M=a^6+2a^2b^2+b^6\)

\(=\left(a^6+b^6\right)+2a^2b^2\)

\(=\left(a^2+b^2\right)^3-3a^2b^2\left(a^2+b^2\right)+2a^2b^2\)

\(=\left(1-2ab\right)^3-3a^2b^2\left(1-2ab\right)+2a^2b^2\)

\(=1-6ab+12a^2b^2-8a^3b^3-3a^2b^2+6a^3b^3+2a^2b^2\)

\(=-2a^3b^3+11a^2b^2-6ab+1\)

a: Sửa đề: \(x^2\left(x-3\right)+12-4x\)

TA có: \(x^2\left(x-3\right)+12-4x\)

\(=x^2\left(x-3\right)-4\left(x-3\right)\)

\(=\left(x-3\right)\left(x^2-4\right)\)

=(x-3)(x-2)(x+2)

b: Sửa đề: \(x-y+x^2\left(y-x\right)\)

Ta có: \(x-y+x^2\left(y-x\right)\)

\(=x-y-x^2\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(1-x^2\right)=\left(x-y\right)\left(1-x\right)\left(1+x\right)\)

a: Xét ΔABC có M,N lần lượt là trung điểm của AC,AB

=>MN là đường trung bình của ΔABC

=>MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)

Xét tứ giác BNMC có MN//BC

nên BNMC là hình thang

b: Xét hình thang BNMC có

I,F lần lượt là trung điểm của NB,MC

=>IF là đường trung bình của hình thang BNMC

=>IF//MN//BC và \(IF=\frac{MN+BC}{2}=\frac{4+8}{2}=6\left(\operatorname{cm}\right)\)

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=dE

b: ΔHDB vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên ID=IH=IB=HB/2

Xét ΔIDH có ID=IH

nên ΔIDH cân tại I

=>\(\hat{IDH}=\hat{IHD}\)

mà \(\hat{IHD}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị, HD//AC)

nên \(\hat{IDH}=\hat{ACB}\)

ΔCEH vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên \(EK=KH=KC=\frac{CH}{2}\)
Xét ΔKEH có KE=KH

nên ΔKEH cân tại K

=>\(\hat{KEH}=\hat{KHE}\)

mà \(\hat{KHE}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, HE//AB)

nên \(\hat{KEH}=\hat{ABC}\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{EDH}=\hat{EAH}=\hat{HAC}\)

Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{DEH}=\hat{DAH}=\hat{HAB}\)

\(\hat{EDI}=\hat{EDH}+\hat{IDH}=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

=>ED⊥ ID tại D(1)

\(\hat{KED}=\hat{KEH}+\hat{DEH}=\hat{HAB}+\hat{HBA}=90^0\)

=>KE⊥ ED tại E(2)

Từ (1),(2) suy ra KEDI là hình thang vuông tại E và D

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Độ dài đường trung bình của hình thang DIKE là:

\(\frac{DI+KE}{2}=\frac{0,5HB+0,5HC}{2}=\frac{0,5\cdot\left(HB+HC\right)}{2}\)

\(=\frac{0,5\cdot BC}{2}=0.5\cdot\frac{10}{2}=0,5\cdot5=2,5\left(\operatorname{cm}\right)\)