a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=dE

b: ΔHDB vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên ID=IH=IB=HB/2

Xét ΔIDH có ID=IH

nên ΔIDH cân tại I

=>\(\hat{IDH}=\hat{IHD}\)

mà \(\hat{IHD}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị, HD//AC)

nên \(\hat{IDH}=\hat{ACB}\)

ΔCEH vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên \(EK=KH=KC=\frac{CH}{2}\)
Xét ΔKEH có KE=KH

nên ΔKEH cân tại K

=>\(\hat{KEH}=\hat{KHE}\)

mà \(\hat{KHE}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, HE//AB)

nên \(\hat{KEH}=\hat{ABC}\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{EDH}=\hat{EAH}=\hat{HAC}\)

Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{DEH}=\hat{DAH}=\hat{HAB}\)

\(\hat{EDI}=\hat{EDH}+\hat{IDH}=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

=>ED⊥ ID tại D(1)

\(\hat{KED}=\hat{KEH}+\hat{DEH}=\hat{HAB}+\hat{HBA}=90^0\)

=>KE⊥ ED tại E(2)

Từ (1),(2) suy ra KEDI là hình thang vuông tại E và D

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Độ dài đường trung bình của hình thang DIKE là:

\(\frac{DI+KE}{2}=\frac{0,5HB+0,5HC}{2}=\frac{0,5\cdot\left(HB+HC\right)}{2}\)

\(=\frac{0,5\cdot BC}{2}=0.5\cdot\frac{10}{2}=0,5\cdot5=2,5\left(\operatorname{cm}\right)\)

A = x² +2xy + 3y² +2x - 2y + 2016

A = x² + 2xy + y² + y² + y² + 2x + 2y - 4y + 1 + 4 + 2011

A = (x² + 2xy + y²) + ( 2x +2y) + 1 + (y² - 4y + 4) +  2011 +y²

A = (x + y)² + 2. (x+y) + 1 + ( y-2)² + 2011 + y²

A = (x + y + 1 )² + (y-2)² + 2011 + y²

(x+y+1)²≥ 0 ; (y-2)² ≥ 0 ; y² ≥ 0 ⇔ A ≥ 2011 > 0 ∀ x,y (đpcm)

    x³ + 2x²y + xy² - 4x 

= x.(x² + 2xy + y² -4)

=x.{ (x +y)²-2² }

= x. (x+y +2)(x +y-2)

Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

=>\(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

=>\(\left(a+b+c\right)\left\lbrack\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right\rbrack-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

=>\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)

=>\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)

=>\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

=>\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)

=>\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)

=>a=b=c

\(M=\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}\)

\(=\frac{a+a}{a}+\frac{a+a}{a}+\frac{a+a}{a}\)

=2+2+2

=6

Ta có: \(\left(2x^3-x-1\right)\left(5x-2\right)\)

\(=10x^4-4x^3-5x^2+2x-5x+2\)

\(=10x^4-4x^3-5x^2-3x+2\)

1: Xét ΔABC có K,I lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>KI là đường trung bình của ΔABC

=>KI//BC và \(KI=\frac{BC}{2}\)

Xét tứ giác BKIC có IK//BC

nên BKIC là hình thang

Hình thang BKIC có \(\hat{KBC}=\hat{ICB}\)

nên BKIC là hình thang cân

2: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM⊥BC tại M

Xét tứ giác AMCN có

I là trung điểm chung của AC và MN

=>AMCN là hình bình hành

Hình bình hành AMCN có \(\hat{AMC}=90^0\)

nên AMCN là hình chữ nhật

3: TA có: AMCN là hình chữ nhật

=>AN//CM và AN=CM

AN//CM

=>AN//BM

AN=CM

CM=BM

Do đó: AN=BM

Xét tứ giác ANMB có

AN//MB

AN=MB

Do đó: ANMB là hình bình hành

=>AM cắt BN tại trung điểm của mỗi đường(1)

xét ΔABC có

M,I lần lượt là trung điểm của BC,CA

=>MI là đường trung bình của ΔBAC

=>MI//AB và \(MI=\frac{AB}{2}\)

MI//AB

=>MI//AK

Ta có: \(MI=\frac{AB}{2}\)

\(AK=\frac{AB}{2}\)

do đó: MI=AK

Xét tứ giác AKMI có

MI//AK

MI=AK

Do đó: AKMI là hình bình hành

=>AM cắt KI tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AM,KI,BN đồng quy

x(3x-16)=-5

⇔3x²-16x+5=0

⇒3(x²-\(\dfrac{15+1}{3}\)x+\(\dfrac{5}{3}\))=0

⇔(x-\(\dfrac{1}{3}\))(x-5)=0

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x-5=0\Rightarrow x=5\\x-\dfrac{1}{3}=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

x^2-10x=-25

x.x-10x=-25

x.(x-10)=-25

=>x=-25 hoặc x-10=-25

                       x     =-35

 Vậy x thuộc {-25;-35}

a: AHKE là hình vuông

=>\(\hat{HKE}=90^0\) và KA là phân giác của góc HKE

=>\(\hat{HKA}=\hat{EKA}=\frac12\cdot\hat{HKE}=45^0\)

Xét tứ giác APKB có \(\hat{PKB}+\hat{PAB}=90^0+90^0=180^0\)

nên APKB là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{APB}=\hat{AKB}=45^0\)

Xét ΔAPB vuông tại A có \(\hat{APB}=45^0\)

nên ΔABP vuông cân tại A

=>AB=AP

b: Xét hình bình hành ABQP có \(\hat{BAP}=90^0\)

nên ABQP là hình chữ nhật

=>AQ cắt PB tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của AQ và PB

ΔPKB vuông tại K

mà KI là đường trung tuyến

nên \(KI=\frac{PB}{2}\) (1)

ΔPAB vuông tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên \(AI=\frac{PB}{2}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra IA=IK

=>I nằm trên đường trung trực của AK(3)

Ta có: EK=EA

=>E nằm trên đường trung trực của AK(4)

Ta có: HA=HK

=>H nằm trên đường trung trực của AK(5)

Từ (3),(4),(5) suy ra H,E,I thẳng hàng

AB//CD

=>\(\hat{A}+\hat{D}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)

=>\(2\cdot\hat{D}+\hat{D}=180^0\)

=>\(3\cdot\hat{D}=180^0\)

=>\(\hat{D}=60^0\)

AB//CD
=>\(\hat{B}+\hat{C}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)

=>\(3\cdot\hat{C}+\hat{C}=180^0\)

=>\(4\cdot\hat{C}=180^0\)

=>\(\hat{C}=45^0\)

\(\hat{D}+\hat{C}=60^0+45^0=105^0\)