a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC\)

=>\(BA^2=2\cdot8=16=4^2\)

=>BA=4(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(BA^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=8^2-4^2=64-16=48\)

=>\(AC=4\sqrt3\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot8=4\cdot4\sqrt3=16\sqrt3\)

=>\(AH=2\sqrt3\) (cm)

b: Xét ΔBAK vuông tại A có AD là đường cao

nên \(BD\cdot BK=BA^2\)

=>\(BD\cdot BK=BH\cdot BC\)

c: \(BD\cdot BK=BH\cdot BC\)

=>\(\frac{BD}{BC}=\frac{BH}{BK}\)

Xét ΔBDH và ΔBCK có

\(\frac{BD}{BC}=\frac{BH}{BK}\)

góc DBH chung

Do đó: ΔBDH~ΔBCK

=>\(\frac{S_{BDH}}{S_{BCK}}=\left(\frac{BD}{BC}\right)^2=\frac{BD}{BC}\cdot\frac{BH}{BK}\)

\(=\frac{BH}{BC}\cdot\frac{BD}{BK}=\frac14\cdot\frac{BA^2}{BK^2}=\frac14\cdot\left(\frac{BA}{BK}\right)^2=\frac14\cdot cos^2ABK\)

=>\(S_{BDH}=S_{BCK}\cdot\frac14\cdot cos^2ABD\)

X bằng Căn bậc 5

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(CB=\frac{8^2}{4,8}=\frac{64}{4,8}=\frac{320}{24}=\frac{40}{3}\) (cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AB^2=\left(\frac{40}{3}\right)^2-8^2=\frac{1600}{9}-64=\frac{1600}{9}-\frac{576}{9}=\frac{1024}{9}=\left(\frac{32}{3}\right)^2\)

=>\(AB=\frac{32}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=8\cdot\frac{32}{3}:\frac{40}{3}=8\cdot\frac{32}{3}\cdot\frac{3}{40}=8\cdot\frac{32}{40}=8\cdot\frac45=6,4\left(\operatorname{cm}\right)\)

b:

Ta có: BH+HC=BC

=>\(BH=\frac{40}{3}-4,8=\frac{40}{3}-\frac{14.4}{3}=\frac{25.6}{3}=\frac{256}{30}=\frac{128}{15}\) (cm)

Xét ΔHAB vuông tại H có cosBAH=BH/BA

\(=\frac{128}{15}:\frac{32}{3}=\frac{128}{15}\cdot\frac{3}{32}=\frac45\)

c: Xét ΔBAC có BI là phân giác ngoài tại đỉnh B

nên \(\frac{IA}{IC}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{IA}{IC}=\frac{32}{3}:\frac{40}{3}=\frac45\)

=>IC=1,25IA

Ta có: IA+AC=IC

=>AC=IC-IA

=>AC=1,25IA-IA=0,25IA

=>0,25IA=8

=>IA=32(cm)

2

√ x-2 có nghĩa khi

   x-2≥0

⇒x≥2

vậy với x≥2 thì √ x-2 có nghĩa

Sao chị có huy chương vioedu đấy ạ

Chúc cô Thương Hoài 20/10 vui vẻ và thành công

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ta có:

\(\Delta'>0;m+2\ne0\Leftrightarrow\left[-\left(m-1\right)\right]^2-\left(m+2\right)\left(m-3\right)>0;m\ne-2\\ m^2-2m+1-m^2+m+6>0;m\ne-2\\ 7-m>0;m\ne-2\\ m< 7;m\ne-2\)

Với \(x_1;x_2\) là nghiệm của phương trình đã cho, không mất tính tổng quát giả sử \(x_1=2x_2\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{m+2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{4\left(m-1\right)}{3\left(m+2\right)}\\x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{3\left(m+2\right)}\end{matrix}\right.\)

\(x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m+2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(m-1\right)^2}{\left(m+2\right)^2}=\dfrac{m-3}{m+2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{8}{9}.\dfrac{\left(m-1\right)^2}{\left(m+2\right)^2}=\dfrac{m-3}{m+2}\\ \Leftrightarrow8\left(m-1\right)^2\left(m+2\right)=9\left(m+2\right)^2\left(m-3\right)\\ \Leftrightarrow8\left(m-1\right)^2=9\left(m+2\right)\left(m-3\right)\\ \Leftrightarrow8\left(m^2-2m+1\right)=9\left(m^2-m-6\right)\\ \Leftrightarrow m^2+7m-62=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{-7-\sqrt{297}}{2}\\m_2=\dfrac{-7+\sqrt{297}}{2}\end{matrix}\right.\)

So với đầu kiện bài toán ta có 2 giá trị m thõa mãn bài toán đã cho.

a) Pt đã cho có \(\Delta=\left[-\left(2m-3\right)\right]^2-4\left(m^2-3m\right)=4m^2-12m+9-4m^2+12m\)\(=9>0\). Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm khi m thay đổi.

b) Pt đã cho cho 2 nghiệm phân biệt:

\(x_1=\dfrac{-\left[-\left(2m-3\right)\right]-\sqrt{9}}{2}=\dfrac{2m-3-3}{2}=m-3\) 

\(x_2=\dfrac{-\left[-\left(2m-3\right)\right]+\sqrt{9}}{2}=\dfrac{2m-3+3}{2}=m\)

Vậy để pt đã cho có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(1< x_1< x_2< 6\) thì \(1< m-3< m< 6\) \(\Leftrightarrow4< m< 6\)

a: ĐKXĐ: x>0

Ta có: \(A=\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(\frac{\sqrt{x}+1}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\frac{x\cdot\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\cdot\frac{x+2\sqrt{x}+1-x+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=3\)

b: Vì A=3 nên với mọi x>0 thì A luôn có giá trị nguyên là A=3

Đặt \(P=ab+4\)

Ta thấy \(a=111...11\) (n chữ số 1) \(=\dfrac{1}{9}.999...99\) (n chữ số 9) \(=\dfrac{10^n-1}{9}\) và \(b=100...011\) (\(n-2\) chữ số 0) \(=100...000+11\) n chữ số 0) \(=10^n+11\).

Do đó ta có \(P=ab+4=\dfrac{10^n-1}{9}.\left(10^n+11\right)+4\) \(=\dfrac{\left(10^n\right)^2+11.10^n-10^n-11+36}{9}\) \(=\dfrac{\left(10^n\right)^2+10^n+25}{9}=\left(\dfrac{10^n+5}{3}\right)^2\)

Ta thấy \(10^n+5\) có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên \(10^n+5⋮3\) hay \(\dfrac{10^n+5}{3}\inℕ^∗\). Từ đó \(\left(\dfrac{10^n+5}{3}\right)^2\) là số chính phương. Vậy \(ab+4\) là số chính phương.