Ta có P = \(x\sqrt{x+y}+y\sqrt{y+z}+z\sqrt{z+x}\)

<=> \(\sqrt{2}P=\sqrt{2}x.\sqrt{x+y}+\sqrt{2}y.\sqrt{y+z}+\sqrt{2}z.\sqrt{z+x}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương \(\sqrt{2}x;\sqrt{x+y}\) được 

\(\sqrt{2}x.\sqrt{x+y}\le\dfrac{2x^2+x+y}{2}\)

Tương tự ta được \(\sqrt{2}y.\sqrt{y+z}\le\dfrac{2y^2+y+z}{2}\) ; 

\(\sqrt{2}z.\sqrt{z+x}\le\dfrac{2z^2+z+x}{2}\)

Khi đó \(\sqrt{2}P\le\dfrac{2x^2+x+y}{2}+\dfrac{2y^2+y+z}{2}+\dfrac{2z^2+z+x}{2}=3+x+y+z\)

Lại có \(x^2+1\ge2x\) (bđt Cauchy) 

\(\Leftrightarrow x\le\dfrac{x^2+1}{2}\)

Tương tự được \(x+y+z\le\dfrac{x^2+1}{2}+\dfrac{y^2+1}{2}+\dfrac{z^2+1}{2}=3\)

Khi đó \(\sqrt{2}P\le3+x+y+z\le6\Leftrightarrow P\le3\sqrt{2}\) (đpcm)

"=" khi x = y = z = 1

ko cóa đâu

Trên tia đối tia CB lấy điểm P sao cho \(CP=CB=b\). Khi đó dễ thấy \(BP=BC+CP=a+b\) . Để ý rằng \(\Delta ACP\) vuông cân tại C nên \(AP=PC\sqrt{2}=b\sqrt{2}\)

Hơn nữa, do CD là tia phân giác của góc BCA vuông nên \(\widehat{BCD}=45^o\), từ đó suy ra CD//AP do có 2 góc đồng vị là \(\widehat{P}\) và \(\widehat{BCD}\) bằng nhau (vì chúng cùng bằng \(45^o\))

Trong tam giác ABP có CD//AP nên \(\dfrac{CD}{AP}=\dfrac{BC}{BP}\) hay \(CD=\dfrac{AP.BC}{BP}=\dfrac{b\sqrt{2}.a}{a+b}=\dfrac{ab}{\left(a+b\right).\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=\dfrac{ab}{\left(a+b\right).sin45^o}\)  (đpcm)

gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC, CB.

tứ giác DECF có 3 góc vuông và CD là phân giác góc \(\widehat{ECF}\) 

=> DECF là hình vuông

gọi x (đvđd) là cạnh hình vuông DECF, CD là đường chéo hình vuông => CD = \(x\sqrt{2}\) (đvđd)

theo Talet: \(\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{DF}{AC}\)hay \(\dfrac{a-x}{a}=\dfrac{x}{b}\Rightarrow ba-bx=ax\Rightarrow ab=x\left(a+b\right)\Rightarrow x=\dfrac{ab}{a+b}\)=> \(CD=x\sqrt{2}=\dfrac{ab}{a+b}\sqrt{2}=\dfrac{ab}{\left(a+b\right).\sin45^o}\) (đpcm)

Lời giải:
ĐKXĐ: $x>1; x\neq 2$

\(B=\frac{\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x^2-4x+4}}.\frac{x-2}{x-1}\)

\(=\frac{\sqrt{(x-1)-2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(x-1)+2\sqrt{x-1}+1}}{\sqrt{(x-2)^2}}.\frac{x-2}{x-1}\)

\(=\frac{\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}}{|x-2|}.\frac{x-2}{x-1}\)

\(=\frac{|\sqrt{x-1}-1|+|\sqrt{x-1}+1|}{|x-2|}.\frac{x-2}{x-1}\)

Nêu $x>2$ thì: \(B=\frac{\sqrt{x-1}-1+\sqrt{x-1}+1}{x-2}.\frac{x-2}{x-1}=\frac{2\sqrt{x-1}}{x-2}.\frac{x-2}{x-1}=\frac{2}{\sqrt{x-1}}\)

Nếu $1< x< 2$ thì:

\(B=\frac{1-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}+1}{2-x}.\frac{x-2}{x-1}=\frac{2}{1-x}\)

b.

TH $1< x< 2$ thì không có giá trị $x$ nguyên nào thỏa mãn 

TH $x>2$ thì để $B$ nguyên thì $\sqrt{x-1}$ là ước của $2$

$\Rightarrow \sqrt{x-1}\in \left\{1;2\right\}$

$\Rightarrow x\in \left\{2; 5\right\}$

Vì $x>2$ nên $x=5$

\(\sqrt{x+1+\sqrt{x+\dfrac{3}{4}}}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)+\sqrt{x+\dfrac{3}{4}}+\dfrac{1}{4}}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x+\dfrac{3}{4}}+\dfrac{1}{2}\right|=x+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+\dfrac{3}{4}}+\dfrac{1}{2}=x+1\) (do \(\sqrt{x+\dfrac{3}{4}}+\dfrac{1}{2}>0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+\dfrac{3}{4}}=x+\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{2}\ge0\\\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=x+\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{1}{2}\\x^2+x+\dfrac{1}{4}=x+\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{1}{2}\\x^2-\dfrac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{1}{2}\\\left(x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(nhận\right)\\x=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(ĐKXĐ:x>0;x\ne4;x\ne9\)

\(A=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(\dfrac{x-2}{x-\sqrt{x}-2}-1\right)\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{x-2-\left(x-\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x-9-\left(x-4\right)+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

b. \(P=2A-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}=2+\dfrac{2}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}\)

- Đặt \(t=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\left(t>0\right)\). Khi đó:

\(P=2+2t-t^2=-\left(t^2-2t+1\right)+3=-\left(t-1\right)^2+3\le3\)

- Dấu "=" xảy ra khi \(\left(t-1\right)^2=0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}=1\Leftrightarrow x=1\left(tmĐKXĐ\right)\)

- Vậy \(MaxP=3\), đạt tại \(x=1\)

a: Xét ΔIAM và ΔICD có

\(\hat{IAM}=\hat{ICD}\) (hai góc so le trong, AM//CD)

\(\hat{AIM}=\hat{CID}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIAM~ΔICD

=>\(\frac{AM}{CD}=\frac{IA}{IC}\)

Xét ΔIAD và ΔICN có

\(\hat{IAD}=\hat{ICN}\) (hai góc so le trong, AD//CN)

\(\hat{AID}=\hat{CIN}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIAD~ΔICN

=>\(\frac{IA}{IC}=\frac{AD}{CN}\)

=>\(\frac{AM}{CD}=\frac{AD}{CN}\)

=>\(AM\cdot CN=AD\cdot CD\) không đổi

b: ΔIAM~ΔICD

=>\(\frac{IA}{IC}=\frac{IM}{ID}\) (1)

ΔIAD~ΔICN

=>\(\frac{IA}{IC}=\frac{ID}{IN}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IM}{ID}=\frac{ID}{IN}\)

=>\(IM\cdot IN=ID^2\)

Xét ΔABD có M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AD
=>MQ là đường trung bình của ΔABD

=>MQ//BD và \(MQ=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔCBD có

N,P lần lượt là trung điểm của CB,CD

=>NP là đường trung bình của ΔCBD

=>NP//BD và \(NP=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC
Ta có; MQ//BD

NP//BD

Do đó: MQ//NP

Ta có: \(MQ=\frac{BD}{2}\)

\(NP=\frac{BD}{2}\)

Do đó: MQ=NP

Ta có: MN//AC

AC⊥BD

Do đó: MN⊥BD

TA có: MN⊥BD

BD//MQ

Do đó: MN⊥MQ

Xét tứ giác MNPQ có

MQ//NP

MQ=NP

Do đó: MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có MN⊥MQ

nên MNPQ là hình chữ nhật

=>M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn

-Thúc đẩy nhiều ngành kinh tế phát triển ( đặc biệt là khai thác và chế biến khoáng sản )
-Xã hội : tạo việc làm , phát triển kt-xh miền núi.,,,

Ý nghĩa của việc phát triển các nhà máy thủy điện ở vùng Trung du và miền núi Bắc Bộ:

• Cung cấp điện sinh hoạt và sản xuất cho người dân trong vùng cũng như người dân của cả nước.
• Tạo động lực mới cho sự phát triển của vùng nhất là khai thác và chế biến khoáng sản.
• Tạo chỗ ở mới tốt hơn và nhiều điều kiện thuận lợi hơn để phát triển kinh tế cho các hộ được di dân.
• Điều hòa lượng nước các con sông, hạn chế thiên tai lũ lụt nhân dân sống hai bên khu vực các con sông....

-Phát triển cơ sở hạ tầng , nước sạch nông thông 
-Đẩy mạnh nạn đòi , giảm nghèo