Kẻ hai đường kính \(AB,AC\) của hai đường tròn \(\left(O;R\right),\left(O';R\right)\).

Xét tam giác \(AMB\) và \(CNA\) có: 

\(\widehat{AMB}=\widehat{CNA}\left(=90^o\right)\)

\(AB=AC\left(=2R\right)\)

\(\widehat{MAB}=\widehat{NCA}\) (vì cùng phụ với góc \(\widehat{NAC}\)) 

suy ra \(\Delta AMB=\Delta CNA\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow MB=NA\) (hai cạnh tương ứng) 

\(AM^2+AN^2=AM^2+MB^2=AB^2\) (vì tam giác \(AMB\) vuông ở \(M\))

\(=4R^2\).

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\hat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

=>\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(AD\cdot AC=AE\cdot AB\)

b: Xét ΔDQC vuông tại D và ΔDAP vuông tại D có

\(\hat{DQC}=\hat{DAP}\left(=90^0-\hat{QCD}\right)\)

Do đó: ΔDQC~ΔDAP

=>\(\frac{DQ}{DA}=\frac{DC}{DP}\)

=>\(DQ\cdot DP=DA\cdot DC\)

Ta có: \(x^2+2y=xy\)

=>\(x^2=xy-2y=y\left(x-2\right)\)

=>\(x^2-4-y\left(x-2\right)=-4\)

=>(x-2)(x+2)-y(x-2)=-4

=>(x-2)(x+2-y)=-4

=>(x-2;x+2-y)∈{(1;-4);(-4;1);(-1;4);(4;-1);(2;-2);(-2;2)}

TH1: x-2=1 và x+2-y=-4

=>x=3 và 3+2-y=-4

=>x=3 và 5-y=-4

=>x=3 và y=5+4=9

TH2: x-2=-4 và x+2-y=1

=>x=-2 và -2+2-y=1

=>x=-2 và -y=1

=>x=-2 và y=-1

TH3: x-2=-1 và x+2-y=4

=>x=-1+2=1 và 1+2-y=4

=>x=1 và 3-y=4

=>x=1 và y=3-4=-1

TH4: x-2=4 và x+2-y=-1

=>x=6 và 6+2-y=-1

=>x=6 và 8-y=-1

=>x=6 và y=8+1=9

TH5: x-2=-2 và x+2-y=2

=>x=-2+2=0 và 0+2-y=2

=>x=0 và 2-y=2

=>x=0 và y=0

TH6: x-2=2 và x+2-y=-2

=>x=4 và 4+2-y=-2

=>x=4 và 6-y=-2

=>x=4 và y=6+2

=>x=4 và y=8

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\hat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

=>\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(AD\cdot AC=AE\cdot AB\)

b: Xét ΔDQC vuông tại D và ΔDAP vuông tại D có

\(\hat{DQC}=\hat{DAP}\left(=90^0-\hat{QCD}\right)\)

Do đó: ΔDQC~ΔDAP

=>\(\frac{DQ}{DA}=\frac{DC}{DP}\)

=>\(DQ\cdot DP=DA\cdot DC\)

1: ĐKXĐ: x>=0; x<>1

Ta có: \(\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}+1-x-2-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}-1-x+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=-\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

Với `x >= 0,x \ne 1` có:

`[\sqrt{x}+1]/[x-1]-[x+2]/[x\sqrt{x}-1]-[\sqrt{x}+1]/[x+\sqrt{x}+1]`

`=[\sqrt{x}+1]/[(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)]-[x+2]/[x\sqrt{x}-1]-[\sqrt{x}+1]/[x+\sqrt{x}+1]`

`=1/[\sqrt{x}-1]-[x+2]/[x\sqrt{x}-1]-[\sqrt{x}+1]/[x+\sqrt{x}+1]`

`=[x+\sqrt{x}+1-x-2-(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)]/[(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)]`

`=[x+\sqrt{x}+1-x-2-x+1]/[(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)]`

`=[-x+\sqrt{x}]/[(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)]`

`=[-\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)]/[(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)]`

`=[-\sqrt{x}]/[\sqrt{x}+1]`

Với x > = 0 ; x khác 4 

\(A=\dfrac{9+2x+\sqrt{x}-10-x+1}{x-\sqrt{x}-2}=\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}-2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-2+2}{\sqrt{x}-2}=1+\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\Rightarrow\sqrt{x}-2\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right)}{\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1}-\sqrt{3}+2\)

\(=\sqrt{3}+2+\sqrt{2}-\sqrt{3}+2=4+\sqrt{2}\)

Ta có: \(\left(\sqrt3-\sqrt2\right)\left(\sqrt3+\sqrt2\right):\left(\frac{\sqrt3}{\sqrt3+\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}\right)\)

\(=\left(3-2\right):\left(\frac{\sqrt3\left(\sqrt3-\sqrt2\right)+\sqrt2\left(\sqrt3+\sqrt2\right)}{\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)}\right)\)

\(=1:\frac{3-\sqrt6+\sqrt6+2}{3-2}=1:5=\frac15\)