Điều kiện \(x\ge\dfrac{1}{4}\)

Đặt \(\sqrt{4x-1}=p\left(p\ge0\right)\), khi đó pt đã cho trở thành:

\(3x^3+x^2=3p^3+p^2\) 

\(\Leftrightarrow\left(3x^3-3p^3\right)+\left(x^2-p^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-p\right)\left(3x^2+3xp+3p^2\right)+\left(x-p\right)\left(x+p\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-p\right)\left(3x^2+3xp+3p^2+x+p\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=p\\3x^2+3xp+3p^2+x+p=0\end{matrix}\right.\)

Xét TH \(x=p\) \(\Leftrightarrow x=\sqrt{4x-1}\) \(\Rightarrow x^2=4x-1\) \(\Leftrightarrow x^2-4x+1=0\) (*)

Đến đây ta thấy \(\Delta'=\left(-2\right)^2-1.1=3>0\) nên pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\):

\(x_1=\dfrac{-\left(-2\right)+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}\)  (nhận)

\(x_2=\dfrac{-\left(-2\right)-\sqrt{3}}{1}=2-\sqrt{3}\) (nhận)

Khi đó, theo hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)

Mà tổng bình phương các nghiệm của pt đã cho chính bằng \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4^2-2.1=14\)

Ta xét tiếp trường hợp \(3x^2+3xp+3p^2+x+p=0\)

(Theo mình thì trường hợp này chắc vô nghiệm)

Vậy tổng bình phương các nghiệm của pt đã cho bằng 14.

- Để căn thức có nghĩa thì:

\(\dfrac{-2}{x+1}\ge0\Leftrightarrow\dfrac{2}{x+1}\le0\Rightarrow x+1< 0\Leftrightarrow x< -1\)

Để căn thức trên có nghĩa khi x + 1 < 0 <=> x < -1 

Ở phân thức thứ 2 không phải \(\sqrt{x-2}\) đâu mà là \(\sqrt{x}-2\)

Từ điều kiện \(x-3\sqrt{x}+2=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1\\\sqrt{x}=2\end{matrix}\right.\). Nhưng ta thấy rõ \(\sqrt{x}=2\) là điều không thể do điều kiện xác định của K. Ta chỉ nhận giá trị \(\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\)

Mặt khác \(K=\dfrac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}\)

\(K=\dfrac{2\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\dfrac{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(K=\dfrac{2\sqrt{x}-9-x+9+2x-4\sqrt{x}+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\) 

\(K=\dfrac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(K=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(K=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

Mà \(\sqrt{x}=1\) nên \(K=\dfrac{1+1}{1-3}=-1\)

Vậy tại \(x-3\sqrt{x}+2=0\) thì \(K=-1\)

đk x>=0 ; x khác 4 ; 9 

\(K=\dfrac{2\sqrt{x}-9-\left(x-9\right)+\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-9-x+9+2x-3\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

Em thêm đề bài nhé

1, \(=\dfrac{\sqrt{6}\left(\sqrt{6}-1\right)}{\sqrt{6}-1}+\dfrac{\sqrt{6}\left(\sqrt{6}+1\right)}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}+\sqrt{6}+1=2\sqrt{6}+1\)

2, \(=\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{2}-1\right)}{1-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1\)

ĐKXĐ : \(x\ge-4\)

(2x + 1)² = (x + 4)\(\sqrt{4x^2+1}\)

<=> \(4x^2+1+4x=x\sqrt{4x^2+1}+4\sqrt{4x^2+1}\)

<=> \(\left(\sqrt{4x^2+1}-4\right)\left(\sqrt{4x^2+1}-x\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{4x^2+1}=4\\\sqrt{4x^2+1}=x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x^2=15\\\left\{{}\begin{matrix}3x^2+1=0\\x\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{2}\left(tm\right)\\∄x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{2}\)

Bài 3:

a: \(x^2=7\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=\sqrt7\\ x=-\sqrt7\end{array}\right.\)

b: \(\left(x+2\right)^2=11\)

=>\(x+2=\pm\sqrt{11}\)

=>\(x=-2\pm\sqrt{11}\)

e: \(\sqrt{x^2+1}=3\)

=>\(x^2+1=3^2=9\)

=>\(x^2=9-1=8\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=2\sqrt2\\ x=-2\sqrt2\end{array}\right.\)

f: \(\sqrt{3x^2+1}=7\)

=>\(3x^2+1=7^2=49\)

=>\(3x^2=48\)

=>\(x^2=16\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-4\end{array}\right.\)

c:

ĐKXĐ: x>=3

\(2\left(\sqrt{x-3}\right)^2-5=0\)

=>\(2\cdot\left|x-3\right|-5=0\)

=>\(\left|x-3\right|=\frac52\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-3=\frac52\\ x-3=-\frac52\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac52+3=\frac{11}{2}\left(nhận\right)\\ x=-\frac52+3=\frac12\left(loại\right)\end{array}\right.\)

g: \(\sqrt{x^2+2\sqrt3}=1+\sqrt3\)

=>\(x^2+2\sqrt3=\left(1+\sqrt3\right)^2=4+2\sqrt3\)

=>\(x^2=4\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-2\end{array}\right.\)

d: \(\left(x^2-4\right)^2=9\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x^2-4=3\\ x^2-4=-3\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x^2=7\\ x^2=1\end{array}\right.\Rightarrow x\in\left\lbrace\sqrt7;-\sqrt7;1;-1\right\rbrace\)

h: \(\sqrt{4x^2}=1-x\)

=>|2x|=1-x

=>\(\begin{cases}1-x\ge0\\ \left(2x\right)^2=\left(1-x\right)^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\le1\\ \left(2x-x+1\right)\left(2x+x-1\right)=0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\le1\\ \left(x+1\right)\left(3x-1\right)=0\end{cases}\Rightarrow x\in\left\lbrace-1;\frac13\right\rbrace\)

Bài 2:

\(G=x-2\sqrt{x}-3\)

\(=x-3\sqrt{x}+\sqrt{x}-3\)

\(=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(\sqrt{x}-3\right)=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(H=x+3\sqrt{x}+2\)

\(=x+\sqrt{x}+2\sqrt{x}+2\)

\(=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)+2\left(\sqrt{x}+1\right)=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\)

\(I=x\cdot\sqrt{x}+y\cdot\sqrt{y}\)

\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\)

\(K=x-y-2\sqrt{x}+4\sqrt{y}-3\)

\(=x-2\sqrt{x}+1-y+4\sqrt{y}-4\)

\(=\left(\sqrt{x}-1\right)^2-\left(\sqrt{y}-2\right)^2\)

\(=\left(\sqrt{x}-1-\sqrt{y}+2\right)\left(\sqrt{x}-1+\sqrt{y}-2\right)=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}+1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-3\right)\)

Sửa đề: DE cắt BC tại F.

a: Ta có; \(\hat{ADE}+\hat{EDC}=\hat{ADC}=90^0\)

\(\hat{EDC}+\hat{KDC}=\hat{EDK}=90^0\)

Do đó: \(\hat{ADE}=\hat{CDK}\)

Xét ΔADE vuông tại A và ΔCDK vuông tại C có

AD=CD

\(\hat{ADE}=\hat{CDK}\)

Do đó: ΔADE=ΔCDK

=>DE=DK

b: Sửa đề: \(\frac{1}{DE^2}+\frac{1}{DF^2}\) không đổi

Xét ΔDFK vuông tại D có DC là đường cao

nên \(\frac{1}{DF^2}+\frac{1}{DK^2}=\frac{1}{DC^2}\)

=>\(\frac{1}{DE^2}+\frac{1}{DF^2}=\frac{1}{DC^2}=\frac{1}{a^2}\) không đổi khi E thay đổi trên cạnh AB