Sửa đề: \(P=\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}\)

ĐKXĐ: x>=0; x<>1

Ta có: \(P=\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}\)

\(=\left(\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\cdot\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x+2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\cdot\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{1-\sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\cdot\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\cdot\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)

Gọi số chiếc áo cửa hàng tăng giá là x(chiếc)

(Điều kiện: x∈N*)

Số chiếc áo cửa hàng bán với giá gốc là 150-x(chiếc)

Số tiền bán cho mỗi chiếc áo lúc sau là:

\(90000\left(1+10\%\right)=99000\) (đồng)

Số tiền thu được khi bán 150-x chiếc áo ban đầu là:

\(90000\left(150-x\right)\) (đồng)

Số tiền thu được khi bán x chiếc áo lúc sau là 99000x(đồng)

Tổng số tiền thu được là 14310000 nên ta có:

99000x+90000(150-x)=14310000

=>99x+90(150-x)=14310

=>99x+13500-90x=14310

=>9x=14310-13500=810

=>x=90(nhận)

Vậy: Số chiếc áo mà cửa hàng tăng giá là 90 cái

\(a+b+c=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1\) (do \(a+b+c=1\)) 

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=2\) (1)

Mặt khác:

\(a+b+c=1\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1\)

\(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right)\) và các bộ hoán vị của chúng

Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3abc-3ab\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

Mà \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)\(=1\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-a\right)^2+\left(a-c\right)^2=2\)

Vì a, b, c nguyên nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=1\\\left(c-a\right)^2=1\end{matrix}\right.\) và các hoán vị của nó

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\\left[{}\begin{matrix}b-c=1\\b-c=-1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}c-a=1\\c-a=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\\left[{}\begin{matrix}b=1+c\\b=-1+c\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}c=1+a\\c=-1+a\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Thay vô \(a+b+c=1\) để tìm a, b, c

(Chú ý lúc kết luận, ghi các nghiệm vừa tìm được và viết thêm cụm "và các hoán vị của nó")

Ta xét: (a^5 - a) + (b^5 - b) + (c^5 - c)

Ta có: a^5 - a = a(a^4 - 1) = a(a² - 1)(a² + 1) = a(a - 1)(a + 1)(a² + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4 + 5) 
= a(a - 1)(a + 1)[ (a² - 4) + 5) ] 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 

Do (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 2, 3, 5 và 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5 và 2, 3 hay chia hết cho 2*3*5=30 

=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 30. 

=> a^5 - a chia hết cho 30 

=> (a^5 -a) + (b^5 -b) + (c^5 -c) = (a^5+b^5+c^5) -(a+b+c) chia hết cho 30 (*) 

Do (a+b+c) chia hết cho 30 

(*) => (a^5+b^5+c^5) chia hết cho 30

Trả lời:

Ta thấy : $a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right).$

$=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)$

$=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)$

Gọi \(a^2=x^2-4x+11\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(x^2-4x+11\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(x^2-4x+4\right)-7=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(x-2\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(a-x+2\right)\left(a+x-2\right)=7\)

... (Đoạn này thì tự làm nhaa)

Đáp án:

$x=5$

Giải thích các bước giải:

$D=x^2-4x+11$ là số chính phương

$\to x^2-4x+11=k^2(k\in N^{\ast })$

$\to (x^2-4x+4)-k^2=-7$

$\to (x-2+k)(x-2-k)=-7(\ast )$

Do $k\in$