\(\sqrt{\left(x-3\right)^2}=\left|x-3\right|\)

Với \(x\ge3\Leftrightarrow\left|x-3\right|=x-3\)

Với \(x< 3\Leftrightarrow\left|x-3\right|=3-x\)

Ta có: \(\dfrac{\sqrt{a^2b}+b}{a-b}\sqrt{\dfrac{ab+b^2-2\sqrt{ab^3}}{a\left(a+2\sqrt{b}\right)+b}}\div\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

\(=\dfrac{a\sqrt{b}+b}{a-b}\sqrt{\dfrac{ab+b^2-2b\sqrt{ab}}{a^2+2a\sqrt{b}+b}}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

\(=\dfrac{a\sqrt{b}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\sqrt{\dfrac{\left(b-\sqrt{ab}\right)^2}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

\(=\dfrac{a\sqrt{b}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}-b}{a+\sqrt{b}}\) vì \(a>b>0\)

\(=\dfrac{\left(a+\sqrt{b}\right)\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}\)

\(=b\)

Đpcm

        \(\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}\) 

=    \(\sqrt{\left(\sqrt{x-4}\right)^2-4\sqrt{x-4}+4}\)

=     \(\sqrt{\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2}\)

= \(\sqrt{x-4}\)    - 2

\(\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}=\sqrt{x-4-4\sqrt{x-4}+4}\)

                        \(=\sqrt{\left[\left(x-4\right)+2\right]^2}\)

                       \(=\left|\left(x-4\right)+2\right|\)

                         \(=x-4+2=x-2\)

\(-1\) : căn bậc hai của \(1\)

\(-2\) : căn bậc hai của \(4\)

\(-3\) : căn bậc hai của \(9\)

\(4\) : căn bậc hai của \(16\)

\(5\) : căn bậc hai của \(25\)

\(6\) : căn bậc hai của \(36\)

\(7\) : căn bậc hai của \(49\)

\(0\) : căn bậc hai của \(0\)

\(11\) căn bậc hai của \(121\)

a: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>AH=MN(2)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\) (1)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC=MN^2\)

Đặt x²⁵ = t

=> x¹⁰⁰ + x⁵⁰ + 1 = t⁴ + t² + 1 

= t⁴ + 2t² + 1 - t² 

= (t² + 1)² - t² 

= (t² - t + 1)(t² + t + 1) 

= (x⁵⁰ - x²⁵ + 1)(x⁵⁰ + x²⁵ + 1)

a: \(N=\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\cdot\frac{4\sqrt{x}}{3}\)

\(=\left(\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\cdot\frac{4\sqrt{x}}{3}\)

\(=\frac{x+2-\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\cdot\frac{4\sqrt{x}}{3}=\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\frac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

b: \(\frac{1}{N}>\frac{3\sqrt{x}}{4}\)

=>\(\frac{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{4\sqrt{x}}>\frac{3\sqrt{x}}{4}\)

=>\(x-\sqrt{x}+1>x\)

=>\(-\sqrt{x}+1>0\)

=>\(-\sqrt{x}>-1\)

=>\(\sqrt{x}<1\)

=>0<=x<1

\(0< a_i< 10,\forall i=1,2,3,...,n\)

\(\overline{a_1a_2}+\overline{a_2a_3}+\overline{a_3a_4}+...+\overline{a_{n-1}a_n}+\overline{a_na_1}\)

\(=10a_1+a_2+10a_2+a_3+10a_3+a_4+...+10a_{n-1}+a_n+10a_n+a_1\)

\(=11a_1+11a_2+11a_3+...+11a_{n-1}+11a_n\)

\(=11\left(a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n\right)\left(đpcm\right)\)