Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+3$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ ${{x}_{0}}=1$.

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( x+2 \right);$

b) $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-x+1 \right).$ 

Cho biểu thức $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( 2m-10 \right)x-1$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để ${f}'\left( x \right)>0$ $\forall x\in \mathbb{R}$.

Cho hàm số $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}+mx\quad \quad khi\quad x\le 1 \\ & \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\quad khi\quad x>1 \\ \end{aligned} \right.$ Tìm $m$ để hàm số đã cho liên tục tại $x=1$.

Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi tham số $m$:

     $m{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}+\left( x+2 \right)\left( x-3 \right)=0$. 

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a$ $\left( a>0 \right)$, đường cao $SO=a\sqrt{6}$ ( với $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$).

a) Chứng minh rằng $BD\bot \left( SAC \right)$.

b) Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$.

c) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $AB$. 

Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=-3x+2020$.

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2020x$.

b) $y=\cos 3x-\sin x$.

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{x+2}+2018 \right)$.

b) $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{3.4}^{n}}+{{2}^{n}}}{{{5.4}^{n}}+{{3}^{n}}}$.

c) $\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+4x+3}{{{x}^{2}}-9}$.