Cho trước hai điểm $A, B$ và hai số thực $\alpha, \beta$ thoả mãn $\alpha+\beta \neq 0$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn $\alpha \overrightarrow{I A}+\beta \overrightarrow{I B}=\overrightarrow{0}$. Từ đó, suy ra với điểm bất kì $M$ thì $\alpha \overrightarrow{M A}+\beta \overrightarrow{M B}=(\alpha+\beta) \overrightarrow{M I}$.

Cho tứ giác $A B C D$. Xác định điểm $M, N, P$ sao cho a) $2 \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}$.

b) $\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}+\overrightarrow{N D}=\overrightarrow{0}$.

c) $3 \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=\overrightarrow{0}$.

Cho hai điểm $A, B$ phân biệt. Xác định điểm $M$ biết $2 \overrightarrow{M A}-3 \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}$ 

Cho tam giác $A B C$ với các cạnh $A B=c, B C=a, C A=b$. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $\mathrm{ABC}$. Chứng minh rằng $a \overrightarrow{I A}+b \overrightarrow{I B}+c \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}$.

Cho tam giác $A B C$ có trực tâm $\mathrm{H}$, trọng tâm $\mathrm{G}$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $\mathrm{O}$. Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow{H A}+\overrightarrow{H B}+\overrightarrow{H C}=2 \overrightarrow{H O}$.

b) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O H}$.

c) $\overrightarrow{G H}+2 \overrightarrow{G O}=\overrightarrow{0}$.

Cho hai tam giác $A B C$ và $A_{1} B_{1} C_{1}$ có cùng trọng tâm $\mathrm{G}$. Gọi $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ lần lượt là trọng tâm tam giác $B C A_{1}, A B C_{1}, A C B_{1}$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{G G_{1}}+\overrightarrow{G G_{2}}+\overrightarrow{G G_{3}}=\overrightarrow{0}$

Cho tam giác $A B C$ và một điểm $M$ tùy ý. Gọi $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ lân lượt là các điêm đôi xứng của $M$ qua các trung điểm $K, I, J$ của các cạnh $B C, C A, A B$.
a) Chứng minh ba đường thẳng $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$ đồng quy tại một điểm $N$.
b) Chứng minh rằng khi $M$ di động thì đường thẳng $M N$ luôn đi qua trọng tâm $G$ của $\triangle A B C$.

Trên các cạnh $A B, B C, C A$ của $\triangle A B C$ lấy các điểm $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ sao cho $\dfrac{A A^{\prime}}{A B}=\dfrac{B B^{\prime}}{B C}=\dfrac{C C^{\prime}}{A C}$. Chứng minh các tam giác $\triangle A B C$ và $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có chung trọng tâm.

Cho tam giác $A B C$. Hai điểm $I, J$ được xác định bởi $\overrightarrow{I A}+3 \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0} ; \overrightarrow{J A}+2 \overrightarrow{J B}+3 \overrightarrow{J C}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh ba điểm $I, J, B$ thẳng hàng.

Cho hình bình hành $A B C D$. Trên các tia $A D, A B$ lân lượt lây các điêm $F, E$ sao cho $A D=\dfrac{1}{2} A F, A B=\dfrac{1}{2} A E$. Chứng minh: a) Ba điểm $F, C, E$ thẳng hàng. b) Các tứ giác $B D C E, B D F C$ là hình bình hành.