T = 500^2 - 499^2 + 498^2 - 497^2 +...+2^2 -1^2

= 2( 500^2 + 498^2 + 496^2 +...+2^2 ) - ( 1^2 + 2^2 +3^2 + 4^2 +...+498^2 + 499^2) 

= 2.4 ( 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...+249^2 + 250^2) - ( 1^2 + 2^2 +3^2 + 4^2 +...+498^2 + 499^2) 

\(=8.\frac{250\left(250+1\right)\left(2.250+1\right)}{6}-\frac{500\left(500+1\right)\left(2.500+1\right)}{6}\)

\(=\frac{500\left(500+1\right)}{6}\left(4.\left(250+1\right)-\left(2.500+1\right)\right)\)

= 250 ( 500 + 1)= 125250

Ta có: \(1^2+2^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

 ( Em có thể tìm ra được rất nhiều cách chứng minh đẳng thức trên ) 

=> \(lim\frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{4n\left(n+4\right)\left(3n+2\right)}=lim\frac{\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}{4n\left(n+4\right)\left(3n+2\right)}\)

\(=lim\frac{1\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{24\left(1+\frac{4}{n}\right)\left(3+\frac{2}{n}\right)}=\frac{1}{36}\)

câu này dễ mà bạn

1) Đặt: \(f\left(x\right)=\left(m^2+8\right)x^5-x^2-2\) liên tục trên R ( hàm đa thức)

Có:  \(f\left(0\right)=-2< 0\) và \(f\left(1\right)=m^2+8-1-2=m^2+5>0\)

=> \(f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\)

=> Tồn tại c \(\in\left(0;1\right)\)sao cho f(c) = 0 

=> Phương trình \(f\left(x\right)=\left(m^2+8\right)x^5-x^2-2\)=0 có ít nhất 1 nghiệm.

2) lim ( x --> 5) \(\frac{x^2-6x+5}{\sqrt{4+x}-3}\)

= lim ( x --> 5) \(\frac{\left(x-1\right)\left(x-5\right)}{\frac{x-5}{\sqrt{4+x}+3}}\)

= lim ( x--->5) \(\left(x-1\right)\left(\sqrt{4+x}+3\right)=\left(5-1\right)\left(\sqrt{4+5}+3\right)=24\)