Spoil tí vòng 1 với vòng 2 khá là dễ ăn, full điểm bình thường nên các bạn làm bài hết sức cẩn thận để tránh những sai sót đáng tiếc.

Cố gắng để làm đề trùm - đề vòng 3 (vòng 3 có **** đấy, cẩn thận :) :v

2 ngày nữa là dcd thử sức rồi 

đăng dễ dễ thoi idol

1: Giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge1\).

BĐT cần cm tương đương \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\le7\).

Ta có \(\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{bc}\ge0\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}+1\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\);

\(\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{ab}\ge0\Leftrightarrow1+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\).

Từ đó ta chỉ cần chứng minh \(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\le\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow\left(a-2c\right)\left(2a-c\right)\le0\).

Dễ thấy \(a\le2\le2c;2a\ge2\ge c\) nên ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi chẳng hạn a = 2; b = c = 1.

Sáng nay đề chuyên Nguyễn Huệ khó lắm ạ mình làm được mỗi câu a. :(

mới đọc đề thôi mà đã nát não *điên*

Câu 1:

a) vận chuyển thụ động

b) các chất được vận chuyển từ tế bào chất vào nhân: 

- protein loại histon: Đây là những protein đc tổng hợp ở các riboxom tự do nằm rải rác trong tế bào chất, chúng được vận chuyển vào nhân để tham gia cấu trúc NST cùng ADN.

- nucleotic: chúng được vận chuyển vào nhân để tham gia quá trình sao mã và phiên mã.

C5:

\(A=\dfrac{a}{1+b^2c}+\dfrac{b}{1+c^2d}+\dfrac{c}{1+d^2a}+\dfrac{d}{1+a^2b}=\dfrac{a^2}{a+ab^2c}+\dfrac{b^2}{b+bc^2d}+\dfrac{c^2}{c+cd^2a}+\dfrac{d}{d+da^2b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy Schwars dạng Engel ta có:

\(A\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+c+d+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}=\dfrac{16}{4+\left(ab+cd\right)\left(bc+ad\right)}\) 

\(\ge\dfrac{16}{4+\left(\dfrac{ab+bc+cd+ad}{4}\right)^2}=\dfrac{16}{4+\left[\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2}\right]^2}\ge\dfrac{16}{4+\left[\dfrac{\left(\dfrac{a+b+c+d}{2}\right)^2}{2}\right]^2}=2\)

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d=1

C15. 5: 

Áp dụng BĐT Cauchy: 

\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{1+b}{8}+\dfrac{1+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1+b\right)\left(1+c\right).64}}=\dfrac{3a}{4}\) 

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{3a}{4}-\dfrac{b+1}{8}-\dfrac{c+1}{8}\)

Tương tự: \(\Rightarrow\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\dfrac{3b}{4}-\dfrac{c+1}{8}-\dfrac{a+1}{8}\); \(\Rightarrow\dfrac{c^3}{\left(1+b\right)\left(1+a\right)}\ge\dfrac{3c}{4}-\dfrac{b+1}{8}-\dfrac{a+1}{8}\)

Cộng theo vế: \(VT\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{4}=\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

C15.2: ( Trần Văn Khắnk - Trần Thanh Fuongzz)

Theo định lý Sin: \(\dfrac{a}{sinA}=2R\Rightarrow sinA=\dfrac{a}{2R}\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}bc.sinA=\dfrac{abc}{4R}\Leftrightarrow abc=4SR\) (1)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có: 

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\Leftrightarrow3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

\(\Leftrightarrow9OG^2=OA^2+OB^2+OC^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}\)

\(\Leftrightarrow9OG^2=3R^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}\)

Có \(2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2-\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right)^2=2R^2-c^2\)

Tương tự suy ra: \(9OG^2=9R^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2=9\left(R^2-OG^2\right)\) (2)

Từ (1) và (2), ta có đpcm \(\Leftrightarrow12SR\ge4S\sqrt{9\left(R^2-OG^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow R\ge\sqrt{R^2-OG^2}\)

\(\Leftrightarrow OG^2\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(O\equiv G\) hay tam giác ABC đều.

Toán C89 :

Ta có : \(x^3+y^3+6xy\le8\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy.\left(x+y\right)-8+6xy\le0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+y\right)^3-8\right]-3xy.\left(x+y-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4\right]-3.xy.\left(x+y-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4-3xy\right]\le0\) (*)

Ta thấy : \(\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4-3xy\)

\(=x^2+y^2-xy+2.\left(x+y\right)+4\)

\(=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+2.\left(x+y\right)+4>0\forall x,y>0\)

Do đó từ (*) suy ra : \(x+y-2\le0\Leftrightarrow x+y\le2\)

Ta có : \(Q=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\ge\dfrac{4}{2}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Vậy Min \(Q=2\) khi \(x=y=1\)

Toán C88 :

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương lần lượt ta có được :

\(\left(a+1\right)+4\ge4\sqrt{a+1}\)

\(\left(b+1\right)+4\ge4\sqrt{b+1}\)

\(\left(c+1\right)+4\ge4\sqrt{c+1}\)

Do đó : \(a+b+c+15\ge4.\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)=4.6=24\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge9\)

Ta có : \(a^2+ab+b^2=\dfrac{4.\left(a^2+ab+b^2\right)}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2+3.\left(a+b\right)^2}{4}\ge\dfrac{3.\left(a+b\right)^2}{4}>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left(a+b\right)\)

Chứng minh tương tự ta có :

\(\sqrt{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)\)

\(\sqrt{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left(c+a\right)\)

Do đó : \(P\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot2\cdot\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}.\left(a+b+c\right)\ge9\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Vậy Min \(P=9\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=3\)

[Toán.C93_17.2.2021] rất hay và khó! Đó là câu em gửi anh trên Facebook hồi sáng. Và em cũng là người đầu công khai đưa ra lời giải bài này.

Xem chi tiết tại tthnew's blog: 1721

C96 trùng C94 rồi

Đặt:

x = b + c; y = c + a; z = a + b

=> 2a = y + z - x;

2b = x + z - y;

2c = x + y - z.

Đặt vế trái đề bài là (1),

(1) sẽ trở thành:

½[(y + z - x)/x + 25(x + z - y)/y + 4(x + y - z)/z]

= ½(y/x + 25x/y    +    z/x + 4x/z    +    25z/y + 4y/z)

Áp dụng BĐT CÔSI ta có:

y/x + 25x/y ≥ 2\(\sqrt{ }\)(25xy/xy) = 10

z/x + 4x/z ≥ 2\(\sqrt{ }\)(4xz/xz) = 4

25z/y + 4y/z ≥ 2\(\sqrt{ }\)(100yz/yz) = 20

(1) trở thành BĐT:

(1) ≥ ½(10 + 4 + 20 - 30) = 2

Đẳng thức xảy ra khi:

y/x = 25x/y; z/x = 4x/z; 25z/y = 4y/z

=> 25x² = y²; 4x² = z²; 25z² = 4y²

=> y/x = 5; z/x = 2; z/y = 2/5

=> x = 2; y = 10; z = 4

=> b + c = 2; c + a = 10; a + b = 4

=> c = 2 - b; a = 4 - b

=> (2 - b) + (4 - b) = 10 => b = -2 < 0 (không thỏa mãn)

Vậy đẳng thức không xảy ra và (1) > 2