\(x^{2011}+x^{2011}+1+...+1\) (2009 số 1) \(\ge2011\sqrt[2011]{x^{4022}}=2011x^2\)

Tương tự:

\(2y^{2011}+2009\ge2011y^2\); \(2z^{2011}+2009\ge2011z^2\)

Cộng vế:

\(2\left(x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}\right)+6027\ge2011\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow2011\left(x^2+y^2+z^2\right)\le6033\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le3\)

vãi cả 2015 ạ =))

Vì $x+y+z=3$ nên $y+z=3-x,\quad x+z=3-y,\quad x+y=3-z.$

Do đó $P=\dfrac1{x^2+3-x}+\dfrac1{y^2+3-y}+\dfrac1{z^2+3-z}.$

Với $0<x<3$, ta có $\dfrac1{x^2+3-x}\le\dfrac{4-x}{9}$ vì $\dfrac{4-x}{9}-\dfrac1{x^2+3-x}$

$=\dfrac{(4-x)(x^2-x+3)-9}{9(x^2-x+3)}$

$=\dfrac{-(x-3)(x-1)^2}{9(x^2-x+3)}\ge0.$

Tương tự, $\dfrac1{y^2+3-y}\le\dfrac{4-y}{9}$

$\dfrac1{z^2+3-z}\le\dfrac{4-z}{9}.$

Suy ra $P\le\dfrac{4-x}{9}+\dfrac{4-y}{9}+\dfrac{4-z}{9}$$=\dfrac{12-(x+y+z)}9$$=\dfrac{12-3}{9}$$=1.$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1.$

Khi đó $P=\dfrac13+\dfrac13+\dfrac13=1.$

Vậy $P_{\max}=1.$

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

\(\frac{x}{x^3+y^2+z}=\frac{x\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}{\left(x^3+y^2+z\right)\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}\le\frac{1+x+xz}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{1+x+xz}{9}\)

Tương tự rồi cộng lại ta được:

\(T\le\frac{3+x+y+z+xy+yz+zx}{9}=\frac{6+xy+yz+zx}{9}\le\frac{6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{9}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)

\(2.x^{2011}+2009=x^{2011}+x^{2011}+1+1+...+1\ge2011\sqrt[2011]{x^{4022}}=2011x^2\)

\(tt:2y^{2011}+2009\ge2011x^2;2z^{2011}+2009\ge2011z^2\)

\(\text{Cộng vế theo vế ta được:}6+6027\ge2011\left(x^2+y^2+z^2\right)\Rightarrow2011.3\ge2011M\Rightarrow M\le3\)

\(\Rightarrow M_{max}=3.\text{Dấu "=" xảy ra khi:}x=y=z=1\)

bài này dùng cauchy(chắc phải c/m)

có: x+y-2 căn xy = (cănx - căny)^2 lớn hơn hoặc = 0 =>x+y > hoặc = 2cănxy

2x^2011+2009 lớn hơn hoặc =2011x^2(mình lười rút gọn vế phải sr b)

tg tự(. . .) ta có 2011(x^2+y^2+z^2) nhỏ hơn hoặc =2(x^2011+y^2011+z^2011)+3x2009=6+6027=6033

=>x^2+y^2+z^2 nhỏ hơn hoặc = 3

max m là 3 khi x=y=z=3/3=1