1) \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2-xy=1\\x+x^2y=2y^3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x^2+y^2=1+xy\\x\left(1+xy\right)=2y^3\end{cases}\Rightarrow x\left(x^2+y^2\right)=2y^3}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)+\left(xy^2-y^3\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+xy\right)+y^2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+2y^2+xy\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x^2+2y^2+xy=0\end{cases}}\)

+) \(x=y\Rightarrow\hept{\begin{cases}y^2+y^2-y^2=1\\y+y^3=2y^3\end{cases}\Rightarrow}x=y=\pm1\)

+) \(x^2+2y^2+xy=0\)Vì y=0 không là nghiệm của hệ nên ta chia 2 vế phương trình cho y²:

\(\Rightarrow\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}+2=0\)( Vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm (1;1),(-1;-1).

2/ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{x+3y}\\x^2+y^2+xy=3\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+2xy=x+3y\\x^2+y^2+xy=3\end{cases}}}\Rightarrow xy=x+3y-3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-xy\right)+\left(3y-3\right)\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(1-y\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\Rightarrow y\in\varnothing\\y=1\Rightarrow x=1\end{cases}}\)

Vậy hệ có nghiệm (1;1).

\(\hept{\begin{cases}x^2-2y^2=-1\left(1\right)\\2x^3-y^3=2y-x\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(2x^3-y^2\right)\cdot1=\left(x^2-2y^2\right)\left(2y-x\right)\)(nhân chéo 2 vế để cùng bậc)

\(\Rightarrow2x^3-y^3=2x^2y-x^3-4y^3+2xy^2\)

\(\Rightarrow3x^3-2x^2y-2xy^2+3y^3=0\)

\(\Rightarrow3\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-2xy\left(x+y\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(3x^2-5xy+3y^2\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=0\\x=y=0\end{cases}\Rightarrow x=-y}\)

Thay x=-y vào (1): \(x^2-2x^2=-1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\Rightarrow y=-1\\x=-1\Rightarrow y=1\end{cases}}\)

ĐKXĐ: x<>0 và y<>0

\(\begin{cases} x^2y + 2y + x = 4xy \quad (1) \\ \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{xy} + \dfrac{x}{y} = 3 \quad (2) \end{cases}\)

(1) =>\(\frac{x^2y + 2y + x}{xy} = 4\)

=>\(x+\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=4\)

=>\(\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{2}{x}=4\)

(2) =>\(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y} \left(\frac{1}{x} + x\right) = 3\)

=>\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y}\cdot\frac{x^2 + 1}{x}=3\)

Đặt \(a=x+\frac{1}{y};b=\frac{1}{x}\)

=>\(\frac{1}{y}=a-x=a-\frac{1}{b}\)

(2) sẽ trở thành: \(b^2 + \left(a - \frac{1}{b}\right)\left(b + \frac{1}{b}\right) = 3\)

=>\(b^2+a\left(b+\frac{1}{b}\right)-1-\frac{1}{b^2}=3\)

=>\(\left(b^2-\frac{1}{b^2}\right)+a\left(b+\frac{1}{b}\right)=4\)

=>\(\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{b}\right)+a\left(b+\frac{1}{b}\right)=4\)

=>\(\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{b}+a\right)=4\) (3)

\(\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{2}{x}=4\)

=>a+2b=4

=>a=4-2b

=>\(b - \frac{1}{b} + (4 - 2b) = 4 - \left(b + \frac{1}{b}\right)\)

(3)=>\(\left(b + \frac{1}{b}\right) \left[4 - \left(b + \frac{1}{b}\right)\right] = 4\)

=>\(4\left(b+\frac{1}{b}\right)-\left(b+\frac{1}{b}\right)^2-4=0\)

=>\(\left(b+\frac{1}{b}\right)^2-4\cdot\left(b+\frac{1}{b}\right)+4=0\)

=>\(\left(b+\frac{1}{b}-2\right)^2=0\)

=>\(b+\frac{1}{b}-2=0\)

=>\(\frac{b^2+1-2b}{b}=0\)

=>\(\left(b-1\right)^2=0\)

=>b-1=0

=>b=1

=>\(\frac{1}{x}=1\)

=>x=1

\(a=4-2b=4-2\cdot1=4-2=2\)

\(a=x+\frac{1}{y}\)

=>\(1+\frac{1}{y}=2\)

=>\(\frac{1}{y}=2-1=1\)

=>y=1

\(\hept{\begin{cases}x^2+xy+2y=2y^2+2x\left(1\right)\\y\sqrt{x-y+1}+x=2\left(2\right)\end{cases}}\)(ĐKXĐ: x,y thuộc R, y < x+1)

Pt (1) \(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)+\left(xy-y^2\right)-\left(2x-2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+y\left(x-y\right)-2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+2y-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=2-2y\end{cases}}\)

+) Thế \(x=y\) vào pt (2), ta có: \(y\sqrt{y-y+1}+y=2\Leftrightarrow2y=2\Leftrightarrow y=1\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)

+) Thế \(x=2-2y\) vào pt (2), ta có: \(y\sqrt{2-2y-y+1}+2-2y=2\)

\(\Leftrightarrow y\sqrt{3-3y}=2y\Leftrightarrow y^2\left(3-3y\right)=4y^2\Leftrightarrow3y^3=-y^2\) (3)

Nếu \(y=0\Rightarrow x=2\)(t/m ĐKXĐ) => \(\left(x;y\right)=\left(2;0\right)\)

Nếu \(y\ne0\), chia cả hai vế của pt (3) cho y², ta được:

\(3y=-1\Leftrightarrow y=-\frac{1}{3}\Rightarrow x=\frac{8}{3}\)(t/m ĐKXĐ) => \(\left(x;y\right)=\left(\frac{8}{3};-\frac{1}{3}\right)\)

Vậy tập nghiệm của hpt cho là \(S=\left\{\left(2;0\right);\left(\frac{8}{3};-\frac{1}{3}\right)\right\}.\)

À, thiếu cặp (1;1) bạn bổ sung vào nhé.

\(\hept{\begin{cases}x^2+8=xy^2+2x\left(1\right)\\y^2+8=x^2y+2y\left(2\right)\end{cases}}\)

Xét: \(x^2+8=xy^2+2x\)

<=> \(x\left(y^2+2\right)=x^2+8\ge8>0\)mà \(y^2+2>0\) với mọi x; y 

=> \(x>0\)tương tự \(y>0\)(3) 

Xét \(x^2+8=xy^2+2x\)

<=> \(y^2+2=x+\frac{8}{x}\ge2\sqrt{8}\)<=> \(y^2\ge2\sqrt{8}-2\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}y\ge\sqrt{2\sqrt{8}-2}\\y\le-\sqrt{2\sqrt{8}-2}\end{cases}}\)tương tự \(\orbr{\begin{cases}x\ge\sqrt{2\sqrt{8}-2}\\x\le-\sqrt{2\sqrt{8}-2}\end{cases}}\)(4) 

Từ (3) và (4) => \(x;y\ge\sqrt{2\sqrt{8}-2}\)(@@)

Lấy (1) - ( 2) ta có: \(x^2-y^2=xy^2-x^2y+2x-2y\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)+xy\left(x-y\right)-2\left(x-y\right)=0\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x+y+xy-2\right)=0\)(5)

Với \(x;y\ge\sqrt{2\sqrt{8}-2}\) ta có: \(x+y+xy-2>0\)

Do đó: (5) <=> x = y 

Thế vào (1) ta có: \(x^3-x^2+2x-8=0\Leftrightarrow x=2\)thỏa mãn (@@) 

Vậy:...