\(\)Cho a,b,c,d >0, a+b+c+d=4. Chứng minh rằng:
\(\frac{a+2b+c}{1+a^2}+\frac{b+2c+d}{1+b^2}+\frac{c+2d+a}{1+c^2}+\frac{d+2a+b}{1+d^2}\ge8\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 9 2016
\(x^2+xy+y^2+1=\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3y^2}{4}+1=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+1>0\)
14 tháng 12 2017
2)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
theo yêu cầu của bạn thì đến đâ mk làm theo cách này
ÁP Dụng cô si ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(luôn đúng)\(\Rightarrowđpcm\)
cách 2
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Rightarrowđpcm\)
DT
2
20 tháng 7 2017
\(VD1:\) CMR: \(CMR:\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)=x^4-y^4\)
Giải:
\(VT=\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)\)
\(=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4\)
\(=x^4-y^4=VP\rightarrowĐPCM.\)
20 tháng 7 2017
VD2: Chứng minh rằng nếu: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)
thì \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}.\)
Giải:
Ta có: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
\(\Rightarrow\left(bx\right)^2-2axby+\left(ay\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\)
\(\Rightarrow ay-bx=0\)
\(\Rightarrow ay=bx\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}.\)
18 tháng 8 2019
câu trên không có điều kiện các bạn nhé ! chỉ có thế thôi!
19 tháng 9 2021
\(7,=\left(\sqrt{x}\right)^2+2\cdot2\sqrt{x}+2^2=\left(\sqrt{x}+2\right)^2\\ 8,=\left(\sqrt{x}\right)^2-2\cdot3\sqrt{x}+3^2=x-6\sqrt{x}+9\\ 9,=\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\\ 10,=\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)\\ 11,=\sqrt{x^3}+1^3=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)\\ 12,=\sqrt{x^3}-2^3=\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+2\sqrt{x}+4\right)\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
19 tháng 9 2021
7: \(x+4\sqrt{x}+4=\left(\sqrt{x}+2\right)^2\)
8: \(\left(\sqrt{x}-3\right)^2=x-6\sqrt{x}+9\)
9: \(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\)
19 tháng 9 2021
7) \(x+4\sqrt{x}+4=\left(\sqrt{x}\right)^2+2\sqrt{x}.2+2^2=\left(\sqrt{x}+2\right)^2\)
8) \(\left(\sqrt{x}-3\right)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2-2.\sqrt{x}.3+3^2=x-6\sqrt{x}+9\)
9) \(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\)
10) \(x\sqrt{x}-y\sqrt{y}=\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)\)
11) \(x\sqrt{x}+1=\sqrt{x^3}+1^3=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)\)
12) \(x\sqrt{x}-8=\sqrt{x^3}-2^3=\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+2\sqrt{x}+4\right)\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
30 tháng 5
9: \(x-1=\left(\sqrt{x}\right)^2-1^2=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\)
10: \(x\cdot\sqrt{x}-1=\left(\sqrt{x}\right)^3-1^3\)
\(=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)\)
11: \(x-2\sqrt{x}-63\)
\(=x-9\sqrt{x}+7\sqrt{x}-63\)
\(=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-9\right)+7\left(\sqrt{x}-9\right)=\left(\sqrt{x}-9\right)\left(\sqrt{x}+7\right)\)
12: \(5\sqrt3-3\sqrt5=\sqrt{75}-\sqrt{45}=\sqrt{15}\cdot\sqrt5-\sqrt{15}\cdot\sqrt3=\sqrt{15}\left(\sqrt5-\sqrt3\right)\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
30 tháng 5
9: \(x-1=\left(\sqrt{x}\right)^2-1^2=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\)
10: \(x\cdot\sqrt{x}-1=\left(\sqrt{x}\right)^3-1^3\)
\(=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)\)
11: \(x-2\sqrt{x}-63\)
\(=x-9\sqrt{x}+7\sqrt{x}-63\)
\(=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-9\right)+7\left(\sqrt{x}-9\right)=\left(\sqrt{x}-9\right)\left(\sqrt{x}+7\right)\)
12: \(5\sqrt3-3\sqrt5=\sqrt{75}-\sqrt{45}=\sqrt{15}\cdot\sqrt5-\sqrt{15}\cdot\sqrt3=\sqrt{15}\left(\sqrt5-\sqrt3\right)\)
cậu ơi:), có bài gì cậu tung hết một thể cho tớ làm chứ giờ ăn cơm cứ đi hành tớ v
nhận thấy: \(\frac{a+2b+c}{1+a^2}=\frac{\left(a+2b+c\right)\left(1+a^2\right)-a^2\left(a+2b+c\right)}{1+a^2}=a+2b+c-\frac{a^2\left(a+2b+c\right)}{1+a^2}\)
mà \(\frac{a^2\left(a+2b+c\right)}{1+a^2}\le\frac{a^2\left(a+2b+c\right)}{2a}=\frac{a\left(a+2b+c\right)}{2}=\frac{a^2+2ab+ac}{2}\)
=> \(\frac{a+2b+c}{1+a^2}\ge a+2b+c-\frac{a^2+2ab+ac}{2}\)
CMTT:=> \(\frac{b+2c+d}{1+b^2}\ge b+2c+d-\frac{b^2+2bc+bd}{2}\)
\(\frac{c+2d+a}{1+c^2}\ge c+2d+a-\frac{c^2+2dc+ac}{2}\)
\(\frac{d+2a+b}{1+d^2}\ge d+2a+b-\frac{d^2+2ad+bd}{2}\)
=> \(VT\ge4\left(a+b+c+d\right)-\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2bc+2dc+2ad+ac+bd+ac+bd\right)\) \(VT\ge4\cdot4-\frac12\left(a+b+c+d\right)^2=16-\frac12\cdot16=8\left(đpcm\right)\)
Chắc để tối nay tung lên một thể:))