Cho a, b, c, d>0;a+b+c+d=4. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 9 2016
\(x^2+xy+y^2+1=\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3y^2}{4}+1=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+1>0\)
14 tháng 12 2017
2)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
theo yêu cầu của bạn thì đến đâ mk làm theo cách này
ÁP Dụng cô si ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(luôn đúng)\(\Rightarrowđpcm\)
cách 2
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Rightarrowđpcm\)
DT
2
20 tháng 7 2017
\(VD1:\) CMR: \(CMR:\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)=x^4-y^4\)
Giải:
\(VT=\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)\)
\(=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4\)
\(=x^4-y^4=VP\rightarrowĐPCM.\)
20 tháng 7 2017
VD2: Chứng minh rằng nếu: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)
thì \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}.\)
Giải:
Ta có: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
\(\Rightarrow\left(bx\right)^2-2axby+\left(ay\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\)
\(\Rightarrow ay-bx=0\)
\(\Rightarrow ay=bx\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}.\)
18 tháng 8 2019
câu trên không có điều kiện các bạn nhé ! chỉ có thế thôi!
19 tháng 9 2021
\(7,=\left(\sqrt{x}\right)^2+2\cdot2\sqrt{x}+2^2=\left(\sqrt{x}+2\right)^2\\ 8,=\left(\sqrt{x}\right)^2-2\cdot3\sqrt{x}+3^2=x-6\sqrt{x}+9\\ 9,=\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\\ 10,=\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)\\ 11,=\sqrt{x^3}+1^3=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)\\ 12,=\sqrt{x^3}-2^3=\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+2\sqrt{x}+4\right)\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
19 tháng 9 2021
7: \(x+4\sqrt{x}+4=\left(\sqrt{x}+2\right)^2\)
8: \(\left(\sqrt{x}-3\right)^2=x-6\sqrt{x}+9\)
9: \(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\)
19 tháng 9 2021
7) \(x+4\sqrt{x}+4=\left(\sqrt{x}\right)^2+2\sqrt{x}.2+2^2=\left(\sqrt{x}+2\right)^2\)
8) \(\left(\sqrt{x}-3\right)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2-2.\sqrt{x}.3+3^2=x-6\sqrt{x}+9\)
9) \(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\)
10) \(x\sqrt{x}-y\sqrt{y}=\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)\)
11) \(x\sqrt{x}+1=\sqrt{x^3}+1^3=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)\)
12) \(x\sqrt{x}-8=\sqrt{x^3}-2^3=\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+2\sqrt{x}+4\right)\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
30 tháng 5
9: \(x-1=\left(\sqrt{x}\right)^2-1^2=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\)
10: \(x\cdot\sqrt{x}-1=\left(\sqrt{x}\right)^3-1^3\)
\(=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)\)
11: \(x-2\sqrt{x}-63\)
\(=x-9\sqrt{x}+7\sqrt{x}-63\)
\(=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-9\right)+7\left(\sqrt{x}-9\right)=\left(\sqrt{x}-9\right)\left(\sqrt{x}+7\right)\)
12: \(5\sqrt3-3\sqrt5=\sqrt{75}-\sqrt{45}=\sqrt{15}\cdot\sqrt5-\sqrt{15}\cdot\sqrt3=\sqrt{15}\left(\sqrt5-\sqrt3\right)\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
30 tháng 5
9: \(x-1=\left(\sqrt{x}\right)^2-1^2=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\)
10: \(x\cdot\sqrt{x}-1=\left(\sqrt{x}\right)^3-1^3\)
\(=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)\)
11: \(x-2\sqrt{x}-63\)
\(=x-9\sqrt{x}+7\sqrt{x}-63\)
\(=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-9\right)+7\left(\sqrt{x}-9\right)=\left(\sqrt{x}-9\right)\left(\sqrt{x}+7\right)\)
12: \(5\sqrt3-3\sqrt5=\sqrt{75}-\sqrt{45}=\sqrt{15}\cdot\sqrt5-\sqrt{15}\cdot\sqrt3=\sqrt{15}\left(\sqrt5-\sqrt3\right)\)
ta có: \(\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c}\)
mà \(1+b^2c\ge2\sqrt{1\cdot b^2\cdot c}=2b\sqrt{c}\)
\(\Rightarrow\frac{ab^2c}{1+b^2c}\le\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}=\frac{ab\sqrt{c}}{2}\)
=> \(\frac{a}{1+b^2c}\ge a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}\)
=> \(VT\ge\left(a+b+c+d\right)-\frac12\left(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\right)\)
\(VT\ge4-\frac12\left(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\right)\)
Để VT\(\ge2\) => \(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le4\)
mà \(\sqrt{c}\le\frac{c+1}{2}\)
=> \(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le\frac12\left(abc+bcd+cda+dab+ab+bc+cd+da\right)\)
ta có: \(ab+bc+cd+da=b\left(a+c\right)+d\left(c+a\right)=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)
ta có bđt: \(\left(a+c\right)\left(b+d\right)\le\left(\frac{a+c+b+d}{2}\right)^2=4\)
ta có: \(abc+bcd+cda+dab=ac\left(b+d\right)+bd\left(c+a\right)\)
mà \(ac\le\frac{\left(a+c\right)^2}{4},bd\le\frac{\left(b+d\right)^2}{4}\)
=> \(abc+bcd+cda+dab\le\frac{\left(a+c\right)^2}{4}\left(b+d\right)+\frac{\left(b+d\right)^2}{4}\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow abc+bcd+cda=dab\le\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{4}\left(a+b+c+d\right)=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\le4\)
=> \(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le\frac12\left(4+4\right)=4\)
=> \(VT\ge4-\frac12\cdot4=2\)