\(VD1:\) CMR: \(CMR:\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)=x^4-y^4\)

Giải:

\(VT=\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)\)

\(=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4\)

\(=x^4-y^4=VP\rightarrowĐPCM.\)

VD2: Chứng minh rằng nếu: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

thì \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}.\)

Giải:

Ta có: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2\)

\(\Rightarrow\left(bx\right)^2-2axby+\left(ay\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\)

\(\Rightarrow ay-bx=0\)

\(\Rightarrow ay=bx\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}.\)

Bai nay phai co dieu kien a,b >0 nha ban 

Ap dung bdt \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}< \frac{1}{4}\)  dau nho hon la do gia thiet nha ban

Ap dung bdt Cosi cho 2 so ko am 

 ta co A= \(ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}>2\sqrt{ab.\frac{1}{16ab}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=2.\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)

Study well

câu trên không có điều kiện các bạn nhé ! chỉ có thế thôi!

1)  \(\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\ge4abc\left(a+b+c\right)\)

2)  Cho   \(a+b=2.\)CMR:   

a)  \(a^2+b^2\ge2\)

b)  \(a^4+b^4\ge2\)

c)  \(a^8+b^8\ge2\)

3)  \(a+b+c+d=2.\) CMR   \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge1\)

2)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

theo yêu cầu của bạn thì đến đâ mk làm theo cách này

ÁP Dụng cô si ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(luôn đúng)\(\Rightarrowđpcm\)

cách 2

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

\(\Rightarrowđpcm\)

Dat \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)

Ta co: \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Ta d̃i CM:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Ta co:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\left(dpcm\right)\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)

Với a,b,c,d >0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 

                          \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

                          \(c+d\ge2\sqrt{cd}\)

Do đó : \(a+b+c+d\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\) \(=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)\)     (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

                 \(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\ge2\sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{cd}}=2\sqrt[4]{abcd}\)      (2)

Từ (1) và (2) ta có : \(a+b+c+d\ge4\sqrt[4]{abcd}\)

           \(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)

           \(\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4\ge abcd\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d\)