DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:
Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1= 1.2.3 - 0.1.2
a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2= 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
an-1 = (n - 1)n → 3an-1 =3(n - 1)n → 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
an = n(n + 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)
3(a1 + a2 + ... + an) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ %5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B3%7D)
Cách 2: Ta có
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3
3A = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)]
3A = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
3A = n(n + 1)(n + 2)
%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B3%7D)
* Tổng quát hoá ta có:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …
Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)
Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:
4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ... + (n - 1)n(n + 1).4
4B = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)]
4B = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
.n.%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B4%7D)
Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)
Hướng dẫn giải
Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)
2.5 = 2.(2 + 3)
3.6 = 3.(3 + 3)
4.7 = 4.(4 + 3)
…….
n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n
C = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n
C = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n)
⇒ 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)
3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)
3C = n(n + 1)(n + 2) + n%7D%7B2%7D)
⇒ C = (n%2B2)%7D%7B3%7D)
+ = (n%2B5)%7D%7B3%7D)
Bài 4: Tính D = 12 + 22 + 32 + .... + n2
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này là tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1:
Ta có:
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ n(n + 1)
A = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + .... + n.(n + 1)
A = 12 + 1.1 + 22 + .1 + 32 + 3.1 + ... + n2 + n.1
A = (12 + 22 + 32 + .... + n2) + (1 + 2 + 3 + ... + n)
Mặt khác theo bài tập 1 ta có:
và 1 + 2 + 3 + .... + n = %7D%7D%7B2%7D)
⇒D = 12 + 22 + 32 + .... + n2 = %5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B3%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7Bn%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bn%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7B2n%20%2B%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B6%7D)
Bài 5: Tính E = 13 + 23 + 33 + ... + n3
Hướng dẫn giải
Tương tự bài toán ở trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E:
B = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + ... + (n - 1)n(n + 1)
B = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 -1).3.(3 +1) + ....+ (n - 1).n.(n + 1)
B = (23 - 2) + (33 - 3) + .... + (n3 - n)
B = (23 + 33 + .... +n3) - (2 + 3 + ... + n)
B = (13 + 23 + 33 + ... + n3) - (1 + 2 + 3 + ... + n)
B = (13 + 23 + 33 + ... + n3) - %7D%7B2%7D)
⇒ 13 + 23 + 33 + ... + n3 = B +
Mà .n%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B4%7D)
⇒ E = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = .n%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B4%7D)
+
x(x + 1) : 2 = 210
x(x + 1) = 420 = 20 × 21
→ x = 20
= 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/30 - 1/31
= 1 - 1/31 = 30/31
3a. (4x - 16)(25 - x) = 0
4x - 16 = 0 → x = 4
25 - x = 0 → x = 25
→ x = 4 hoặc x = 25
3b. x×2,5 + x×7,5 = 320
x×(2,5 + 7,5) = 320
10x = 320 → x = 32
Có x số hạng, số đầu 3, số cuối 4x - 1.
x×[3 + (4x - 1)] : 2 = 820
x(4x + 2) = 1640
x(2x + 1) = 820
20×41 = 820
→ x = 20
2A = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/64
2A - A = 1 - 1/128
→ A = 127/128
tham khaotr
1+2+3+4+....+ x = 210
Vì đây là dãy số cách đều nên x là số số hạng
mà công thức tính tổng là: \(\frac{\left(x+1\right).x}{2}\) = 210
--> (x+1).x = 210 .2
(x+1).x = 420
21 . 20 = 420
Suy ra: x = 20
----------------------------------
A = 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ...+ 1/30.31
= 1 - 1/2+ 1/2 - 1/3 + 1/3- 1/4 +....+ 1/30 - 1/31
= 1- 1/31
-------------------------
a, (4x - 16). (25-x)
TH1: 4x - 16 = 0
4x = 16
x =4
TH2: 25 -x = 0
x= 25
Vậy x = {4;25}
b, x. 2,5 + x.7,5 =320
x . (2,5+7,5) = 320
x.10= 320
x= 32
Vậy x = 32
-----------------------
3+7+11+...+(4x-1) = 820
ta thấy đây là một dãy số cách đều 4 đơn vị (vì 7 - 3 = 4).Số các số hạng của dãy số này là:
[(4x - 1) - 3] : 4 + 1 = (4x - 4) : 4 + 1 = x - 1 + 1 = x (số hạng).
tổng của dãy số được tính theo công thức: (Số cuối +Số đầu) . Số số hạng : 2.
Theo đề bài ta có:
[(4x - 1) + 3] . x : 2 = 820
(4x + 2) . x : 2 = 820
(2x + 1) .x = 820
mà 820 = 41 .20
Vậy x = 20 hay số tự nhiên cần tìm là 20
------------------------------
A = 1/2 + 1/4 + 1/8 +...+ 1/128
2.A = ( 1/2 + 1/4 + 1/8 +...+ 1/128) .2
2A = 1+1/2+1/4+1/8+...+1/642A - A = (1+1/2+1/4+1/8+...+1/64) - (1/2 + 1/4 + 1/8 +...+ 1/128)
A = 1 - 1/128 = 127/128