a: Xét ΔABQ và ΔACR có 

AB=AC

\(\widehat{ABQ}=\widehat{ACR}\)

BQ=CR

Do đó: ΔABQ=ΔACR

Suy ra: AQ=AR

b: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường trung tuyến

nên AH là đường cao

Ta có: ΔAQR cân tại A

mà AH là đường cao

nên AH là tia phân giác của góc QẢ

hay \(\widehat{QAH}=\widehat{RAH}\)

Do ∆ACM và ∆MDB đều => AC = AM = AC và MD = BD = MB. Nối M -> E; E -> F; F -> M 
Xét ∆AMD và ∆CMB có: 
+ AM = CM 
+ góc AMD = góc CMB = 120º (kề bù với 2 góc 60º) 
+ MD = MB 
=> ∆AMD = ∆CMB(c.g.c) => AD = BC => AD/2 = BC/2 => AE = CF và góc DAM = góc BCM 
Xét ∆AEM và ∆CFM có: 
+ AE = CF 
+ góc EAM = góc FCM 
+ AM = CM 
=> ∆AEM = ∆CFM(c.g.c) => EM = MF và góc AME = góc FMC 
=> góc AME + góc EMC = góc FMC + góc EMC 
=> góc MEF = góc AMC = 60º 
Xét ∆EFM có EM = MF và góc MEF = 60º => ∆EFM là tam giác cân có 1 góc = 60º 
=> ∆EFM là tam giác đều. 

68

a) Vì △ABC cân tại A ⇒ AB = AC ( tính chất t/g cân )⇒ABCˆ=ACBˆ(tính chất t/g cân)⇒ABC^=ACB^(tính chất t/g cân)Có : QBAˆ+ABCˆ=180o(kề bù)QBA^+ABC^=180o(kề bù)⇒QBAˆ=180o−ABCˆ⇒QBA^=180o−ABC^Có: ACBˆ+ACRˆ=180o(kề bù)ACB^+ACR^=180o(kề bù)⇒ACRˆ=180o−ACBˆ⇒ACR^=180o−ACB^Mà ABCˆ=ACBˆ(cmt)ABC^=ACB^(cmt)⇒ABQˆ=ACRˆ⇒ABQ^=ACR^Xét △ABQ và △ACR có:AB = AC ( cmt )ABQˆ=ACRˆABQ^=ACR^ ( cmt )BQ = CR ( gt )⇒ △ABQ = △ACR ( c.g.c )⇒ AQ = AR ( tương ứng )

Cảm ơn bạn

a: Kẻ MH⊥AB tại H và CK⊥AB tại K

=>MH//CK

Theo đề, ta có: MH=8cm

Xét ΔACK có MH//CK

nên \(\frac{MH}{CK}=\frac{AM}{AC}=\frac12\)

=>CK=2MH=16(cm)

ΔCKA vuông tại K

=>\(CK^2+KA^2=CA^2\)

=>\(AK^2=20^2-16^2=400-256=144=12^2\)

=>AK=12(cm)

KA+KB=AB

=>KB=24-12=12(cm)

=>AK=KB

=>K là trung điểm của AB

Xét ΔCKA vuông tại K và ΔCKB vuông tại K có

CK chung

KA=KB

Do đó: ΔCKA=ΔCKB

=>CA=CB

=>ΔCAB cân tại C

b: Gọi CI là đường kính của (O)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: KA=KB

=>K nằm trên đường trung trực của AB(2)

Ta có: CA=CB

=>C nằm trên đường trung trực của AB(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra C,O,K thẳng hàng

=>C,O,K,I thẳng hàng

Xét (O) có

ΔCAI nội tiếp

CI là đường kính

Do đó: ΔCAI vuông tại A

Xét ΔACI vuông tại A có AK là đường cao

nên \(CK\cdot CI=CA^2\)

=>CI=20^2/16=25(cm)

=>R=25/2=12,5(cm)

Do C là trung điểm của BD => \(AC\perp BD\) ( AC trùng với đường kính đường tròn ( O ; R ) đi qua C ) 

\(\Delta ABD\) có AC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến => \(\Delta ABD\) cân tại A 

=> AB = AD (không đổi) hay với C di động trên đường tròn ( O ; R ) thì AD không đổi => D di động trên đường tròn ( A ; 2R )