\(\begin{cases}xy+x+y=3\\ 1+12(x+y)=7y^3+6xy(y+3-xy)\end{cases}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 12 2017
Bài 1:
Ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} xy^{2}+x+y+\frac{1}{y}=4 & \\ y^{2}+x+\frac{1}{y}=3 & \end{matrix}\right.(y\neq 0)[/tex]
Từ phương trình suy ra:
[tex]\left\{\begin{matrix} y(xy+1)+\frac{xy+1}{y}=4 & \\ y^{2}+\frac{xy+1}{y}=3 & \end{matrix}\right.[/tex]
Đặt [tex]xy+1=a,y=b(b\neq 0)[/tex] ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} b^{2}+\frac{a}{b}=3 & \\ ab+\frac{a}{b}=4 & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3b-b^{3}=a & \\ ab^{2}+a=4b & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3b-b^{3}=a & \\ b\left ( 2b^{2}-b^{4}-1 \right )=0 & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=0 & \\ a=0 & \end{matrix}\right.[/tex](Loại) hoặc [tex]\left\{\begin{matrix} b=1 & \\ a=2 & \end{matrix}\right.[/tex] hoặc [tex]\left\{\begin{matrix} b=-1 & \\ a=-2 & \end{matrix}\right.[/tex]
TH1: [tex]\left\{\begin{matrix} b=1 & \\ a=2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.[/tex]
TH2: [tex]\left\{\begin{matrix} b=-1 & \\ a=-2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3 & \\ y=-1 & \end{matrix}\right.[/tex]
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: [tex]\left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.[/tex] hoặc [tex]\left\{\begin{matrix} x=3 & \\ y=-1 & \end{matrix}\right.[/tex]
21 tháng 1 2020
b, \(x^3+3x^2y-4y^3+x-y=0\)
\(\Leftrightarrow x^3-x^2y+4x^2y-4xy^2+4xy^2-4y^3+x-y=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)+4xy\left(x-y\right)+4y^2\left(x-y\right)+\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+4xy+4y^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Khi đó pt (2) của hệ trở thành:
\(\left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+7x+12\right)=24\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)=24\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)=24\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+5\right)^2-1=24\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+5\right)^2-5^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x\right)\left(x^2+5x+10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)
Vậy hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right),\left(-5;-5\right)\right\}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
1. Ta có:
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+3xy=21\\ x^2+y^2-xy=-15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+3xy=21\\ (x+y)^2-3xy=-15\end{matrix}\right.\)
Đặt $x+y=a; xy=b$ thì HPT trở thành:\( \left\{\begin{matrix} a+3b=21\\ a^2-3b=-15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3b=21-a\\ a^2-3b+15=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-(21-a)+15=0\Leftrightarrow a^2+a-6=0\)
\(\Leftrightarrow (a-2)(a+3)=0\Rightarrow a=2\) hoặc $a=-3$
Nếu $a=2$ thì $b=\frac{19}{3}$. Như vậy $x+y=2; xy=\frac{19}{3}$
Áp dụng định lý Viet đảo suy ra $x,y$ là nghiệm của PT $X^2-2X+\frac{19}{3}=0$ (pt vô nghiệm)
Nếu $a=-3$ thì $b=8$. Áp dụng định lý Viet đảo thì $x,y$ là nghiệm của PT $X^2+3X+8=0$ (pt vô nghiệm)
Tóm lại HPT vô nghiệm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
2.
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+xy+y)^3-3(x+xy)(x+y)(xy+y)=17\\ x+xy+y=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5^3-3(x+xy)(x+y)(xy+y)=17\\ (x+1)(y+1)=6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+xy)(x+y)(xy+y)=36\\ (x+1)(y+1)=6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy(x+y)(x+1)(y+1)=36\\ (x+1)(y+1)=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy(x+y)=6\\ x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)
Theo định lý Viet đảo thì $xy,x+y$ là nghiệm của PT:
$X^2-5X+6=0$
$\Rightarrow (xy,x+y)=(3,2); (2,3)$
Nếu $(xy,x+y)=(3,2)$ thì theo Viet đảo thì $x,y$ là nghiệm của PT $K^2-2K+3=0$ (vô nghiệm)
Nếu $(xy,x+y)=(2,3)$ thì theo Viet đảo thì $x,y$ là nghiệm của PT $K^2-3K+2=0$
$\Rightarrow (x,y)=(1,2); (2,1)$
9 tháng 10 2016
Đặt \(a=x+y,b=xy\), hệ trở thành \(\hept{\begin{cases}a+b=-1\\ab=-12\end{cases}}\)
Từ pt đầu ta có \(b=-1-a\)thay vào pt sau : \(a\left(-1-a\right)=-12\Leftrightarrow a^2+a-12=0\Leftrightarrow\left(a+4\right)\left(a-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=3\\a=-4\end{cases}}\)
Từ đó suy ra các giá trị của b
Từ a,b tương ứng ta quy về hệ đối xứng loại một và giải.
- \(x + y = 3 - xy\)
- \(3 - xy = x + y\)
Thay \(3 - xy = x + y\) vào vế phải của phương trình \((2)\):\(1+12(x+y)=7y^{3}+6xy(y+x+y)\)
\(1+12(x+y)=7y^{3}+6xy(x+2y)\)
\(1+12x+12y=7y^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}\quad (3)\)Nhận thấy các số hạng bậc 3 ở vế phải có dạng gần giống với khai triển của \((x + 2y)^3\) hoặc liên quan đến \(y\). Hãy biến đổi \((3)\) bằng cách chuyển các số hạng chứa biến sang một vế:
\(1=7y^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}-12x-12y\)Để xuất hiện dạng đồng bậc hoặc nhân tử chung, ta nhân phương trình \((1)\) với \(4\) rồi cộng/trừ thích hợp, hoặc khai triển hằng đẳng thức trực tiếp. Hãy để ý tổng \((x+2y)\):
Ta có: \((x + 2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3\)Từ phương trình \((3)\), ta thêm \(x^3 + y^3\) vào hai vế để tạo thành \((x+2y)^3\):
\(1+12x+12y+x^{3}+y^{3}=(x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3})\)
\(1+12(x+y)+x^{3}+y^{3}=(x+2y)^{3}\quad (4)\)Mặt khác, từ phương trình \((1)\): \(xy + x + y = 3 \implies 3(x+y) + 3xy = 9\)
Cách này phức tạp, ta thử cách đặt ẩn phụ truyền thống cho hệ đối xứng loại 1: Đặt \(S = x+y\) và \(P = xy\) (điều kiện \(S^2 \geq 4P\)).Từ \((1) \implies P + S = 3 \implies P = 3 - S\).
Thay vào phương trình \((2)\):
\(1+12S=7y^{3}+6P(y+S)\)Vì phương trình \((2)\) chứa \(7y^{3}\) độc lập nên hệ này không hoàn toàn đối xứng. Ta biến đổi trực tiếp phương trình \((2)\) theo \(x\) và \(y\):
\(1+12x+12y=7y^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}\)
\(\iff x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}-x^{3}-y^{3}-12x-12y-1=0\)
\(\iff (x+2y)^{3}-(x^{3}+y^{3}+12x+12y+1)=0\)Từ \(xy + x + y = 3 \implies 3xy = 9 - 3(x+y)\).
Ta biết rằng: \((x+y+1)^3 = x^3 + y^3 + 1 + 3(x+y)(y+1)(1+x)\)
Khai triển cụ thể:
\(x^3 + y^3 + 12x + 12y + 1 + 6xy\) ... không khớp trực tiếp.Hãy thử nhóm nhân tử cho phương trình \((3)\):
\(6x^{2}y+12xy^{2}+7y^{3}-12x-12y-1=0\)
Từ \((1) \implies 12x = 36 - 12y - 12xy\). Thay vào phương trình trên:
\(6x^{2}y+12xy^{2}+7y^{3}-(36-12y-12xy)-12y-1=0\)
\(6x^{2}y+12xy^{2}+7y^{3}-36+12xy-1=0\)
\(6x^{2}y+12xy^{2}+7y^{3}+12xy-37=0\)Cách này chưa tối ưu. Hãy biến đổi từ đầu bằng cách cộng thêm vào 2 vế của (3):
\(1+12x+12y=7y^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}\)
\(\iff 8y^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}=y^{3}+12x+12y+1\)Cộng thêm \(x^{3}\) vào hai vế:
\(x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}=x^{3}+y^{3}+12(x+y)+1\)
\(\iff (x+2y)^{3}=x^{3}+y^{3}+12(x+y)+1\quad (*)\)Ta có tích phân tích nhân tử từ phương trình (1):
\((x+1)(y+1) = xy + x + y + 1 = 3 + 1 = 4\)Xét hằng đẳng thức:
\(x^3 + y^3 + 1 = (x+y+1)(x^2+y^2+1 - xy - x - y) + 3xy\)
Biến đổi vế phải của \((*)\):
\(x^{3}+y^{3}+1+12(x+y)=(x+y)^{3}-3xy(x+y)+12(x+y)+1\)
\(=S^{3}-3(3-S)S+12S+1\)
\(=S^{3}-9S+3S^{2}+12S+1\)
\(=S^{3}+3S^{2}+3S+1=(S+1)^{3}\)
\(=(x+y+1)^{3}\)Vậy phương trình \((*)\) trở thành:
\((x+2y)^{3}=(x+y+1)^{3}\)
\(\iff x+2y=x+y+1\)
\(\iff y=1\)Thay \(y = 1\) vào phương trình \((1)\):
\(x(1)+x+1=3\)
\(\iff 2x+1=3\)
\(\iff 2x=2\)
\(\iff x=1\)Thử lại vào hệ phương trình ban đầu thấy thỏa mãn. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
\(\mathbf{(x;y)=(1;1)}\)