dạng 1

bài 2: đkxđ: \(x \ge 0; x \neq 1\)

a. thay x = 25 vào biểu thức A ta được:

\(A=\frac{\sqrt{25}-2}{\sqrt{25}+1}=\frac{5-2}{5+1}=\frac36=\frac12\)

b. \(B = \frac{1}{\sqrt{x}+1} - \frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} + \frac{2}{x-1}\)

\(B = \frac{1}{\sqrt{x}+1} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)

\(B = \frac{\sqrt{x}-1 + \sqrt{x}(\sqrt{x}+1) + 2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)

\(B = \frac{\sqrt{x}-1 + x + \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)

\(B = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)

\(B = \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)

\(B = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \quad (\text{đpcm})\)

\(c.P=A:B\)

\(P = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1} : \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

\(P = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

\(P = \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)^2}\)

vì P = 5/2 nên: \(\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow2(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-1)=5(\sqrt{x}+1)^2\)

\(\Rightarrow2(x-3\sqrt{x}+2)=5(x+2\sqrt{x}+1)\)

\(\Rightarrow2x-6\sqrt{x}+4=5x+10\sqrt{x}+5\)

\(\Rightarrow3x+16\sqrt{x}+1=0\)

vì \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ge 0\) nên \(3x+16\sqrt{x}+1\ge1>0\quad\left(\forall x\ge0\right)\)

⇒ phương trình trên vô nghiệm

vậy không có giá trị x thoả P = 5/2

bài 3: đkxđ: \(x \ge 0; x \neq 1; x \neq 4\)

thay x = 9 vào biểu thức A ta được: \(A=\frac{4\sqrt{9}}{\sqrt{9}-1}=\frac{4 \cdot3}{3 - 1}=\frac{12}{2}=6\)

vậy khi x = 9 thì A = 6

\(B = \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2} - \frac{1}{2-\sqrt{x}} + \frac{12}{x-4}\)

\(B = \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2} + \frac{1}{\sqrt{x}-2} + \frac{12}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

\(B = \frac{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-2) + 1 \cdot (\sqrt{x}+2) + 12}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

\(B = \frac{x - 2\sqrt{x} + 5\sqrt{x} - 10 + \sqrt{x} + 2 + 12}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

\(B = \frac{x + 4\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

\(B = \frac{(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

\(B = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\)

c. ta có \(P = A \cdot B\)

\(\Rightarrow P=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\)

\(\Rightarrow P=\frac{4\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)}\)

vì P = 2 nên \(\frac{4\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)} = 2\)

\(\Rightarrow2\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)\)

\(\Rightarrow2x+4\sqrt{x}=x-3\sqrt{x}+2\)

\(\Rightarrow x+7\sqrt{x}-2=0\)

đặt \(t = \sqrt{x}\) với \(t\ge0,t\neq1,t\neq2\)

ta có: \(t^2 + 7t - 2 = 0\)

\(\Delta = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 49 + 8 = 57 > 0\)

\(\Rightarrow\begin{cases}t_1=\frac{-7 + \sqrt{57}}{2}\left(N\right)\\ t_2=\frac{-7 - \sqrt{57}}{2}<0\left(L\right)\end{cases}\)

\(x=t^2=\left(\frac{\sqrt{57}-7}{2}\right)^2=\frac{57 - 14\sqrt{57} + 49}{4}\)

\(=\frac{106 - 14\sqrt{57}}{4}=\frac{53 - 7\sqrt{57}}{2}\)

• Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện \(x \geq 0; x \neq 1\)) vào biểu thức \(A\):
  \(A=\frac{\sqrt{25}-2}{\sqrt{25}+1}\)
• Vì \(\sqrt{25} = 5\), ta có:
  \(A=\frac{5-2}{5+1}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
• Kết luận: Khi \(x = 25\) thì \(A = \frac{1}{2}\).

• Ta có biểu thức:
  \(B=\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}+\frac{2}{x-1}\)
• Đổi dấu ở mẫu số thứ hai để xuất hiện mẫu thức chung:
  \(B=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)
• Mẫu thức chung (MTC): \((\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\). Quy đồng các phân thức:
  \(B=\frac{\sqrt{x}-1+\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)+2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)
• Khai triển và thu gọn tử số:
  \(\text{T\ s}=\sqrt{x}-1+x+\sqrt{x}+2=x+2\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}+1)^{2}\)
• Thay lại vào biểu thức \(B\) và rút gọn:
  \(B=\frac{(\sqrt{x}+1)^{2}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
• Kết luận: Vậy \(B = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\) (Điều phải chứng minh).

• Trước hết, ta lập biểu thức \(P\):
  \(P=A\cdot B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}\)
• Theo đề bài, ta cần tìm \(x\) sao cho \(P = \frac{5}{2}\):
  \(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}=\frac{5}{2}\)
• Quy đồng và chéo hai vế (với điều kiện \(x \neq 1\)):
  \(2(\sqrt{x}-2)=5(\sqrt{x}-1)\)
  \(2\sqrt{x}-4=5\sqrt{x}-5\)
• Chuyển vế để tìm \(\sqrt{x}\):
  \(5\sqrt{x}-2\sqrt{x}=5-4\)
  \(3\sqrt{x}=1\implies \sqrt{x}=\frac{1}{3}\)
• Bình phương hai vế:
  \(x=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}\)
• Đối chiếu điều kiện: \(x = \frac{1}{9}\) thỏa mãn \(x \geq 0\) và \(x \neq 1\).
• Kết luận: Giá trị \(x\) cần tìm là \(x = \frac{1}{9}\).