Ta có:
\(A=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}}+\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow3\cdot A=3\cdot\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}}+\frac{101}{3^{101}}\right)\)
\(\Rightarrow3\cdot A=3\cdot\frac{1}{3}+3\cdot\frac{2}{3^2}+3\cdot\frac{3}{3^3}+...+3\cdot\frac{100}{3^{100}}+3\cdot\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow3\cdot A=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}}+\frac{101}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3\cdot A-A=\left(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}}+\frac{101}{3^{100}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}}+\frac{101}{3^{101}}\right)\)
\(\Rightarrow2\cdot A=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}}+\frac{101}{3^{100}}-\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}-\frac{3}{3^3}-...-\frac{100}{3^{100}}-\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow2\cdot A=1+\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{3}{3^2}-\frac{2}{3^2}\right)+...+\left(\frac{101}{3^{100}}-\frac{100}{3^{100}}\right)-\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow2\cdot A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}-\frac{101}{3^{101}}\)
Khi đặt \(S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}\) thì ta sẽ có 2 điều:
- Điều 1: Khi đó:
\(2\cdot A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}-\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow2\cdot A=S-\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow2\cdot A< S\)    ( 1 )
Điều 2: Khi đó:
\(S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3\cdot S=3\cdot\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}\right)\)
\(\Rightarrow3\cdot S=3\cdot1+3\cdot\frac{1}{3}+3\cdot\frac{1}{3^2}+...+3\cdot\frac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3\cdot S=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow3\cdot S-S=\left(3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{99}}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}\right)\)
\(\Rightarrow2\cdot S=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{99}}-1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}-...-\frac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow2\cdot S=3+\left(1-1\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^2}\right)+...+\left(\frac{1}{3^{99}}-\frac{1}{3^{99}}\right)-\frac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow2\cdot S=3+0+0+0+...+0-\frac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow2\cdot S=3-\frac{1}{3^{100}}\)
Do \(3-\frac{1}{3^{100}}< 3\) nên:
\(\Rightarrow2\cdot S< 3\)
\(\Rightarrow S< \frac{3}{2}\)    ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ), theo tính chất bắc cầu suy ra:
\(2\cdot A< \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{3}{2}:2\)
\(\Rightarrow A< \frac{3}{2\cdot2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\)    ( đpcm )

số các số hạng là:

    (101-1)/1+1=101(số)

tổng các số là:

     (101+1)*101/2=5151

              Đáp số: 5151

Ta có: A = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰

3A = 3(3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰)

3A = 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰¹

3A - A = (3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰¹) - (3 + 3²  + 3³ + ... + 3¹⁰⁰)

2A = 3¹⁰¹ - 3

A = \(\frac{3^{101}-3}{2}\)

=> A < B = 3¹⁰¹ - 3

A là số dương, B là số âm => A>B

A có 50 thừa số âm

=> A > 0

b) CÓ 49 thừa số âm 

=> B < 0 

A<0

B>0

k biết

a>b

Vì a co 2^180 ma b chi co 2^101

a)

Chia ra từng nhóm, mỗi nhóm gồm 4 số, 2 dấu + và 2 dấu - liên tiếp nhau. 
(+1+2-3-4)=-4 
(+5+6-7-8)=-4 
(+9+10-11-12)=-4 
... 
(+97+98-99-100)=-4 
Vậy cho tới số 100, chia được số nhóm là: 
100:4=25 nhóm như vậy, 
Suy ra, tổng từ +1 đến -100 là: 
25.(-4)=-100 
Phần còn lại bạn ghi không rỏ nên không biết cộng đến số bao nhiêu? 

Theo như trên, thì 
S=(-100)+101+102=103 

Đáp số: 
S=103

b)

Ta thấy : 3 - 1= 2 
5 - 3 = 2 
7 - 5 = 2 
...... 
99 - 97=2. Như vậy đây là dãy số cách đều, mỗi số hạng cách số liền kề hai đơn vị . Số số hạng là:( 99 - 1 ) : 2 + 1 = 50 ( số hạng). 
Ta sắp xếp thành các cặp số ta có số cặp số là: 
50:2=25( cặp số ) 
A=( 1 - 3 )+ ( 5 - 7) + ( 9 - 11) + .....+ ( 97 - 99) +101
= (- 2) + (- 2 )+ (- 2 )+ ....+ (- 2 )+ 101
= - 2 x 2 5 +101

= - 50+101

= 51