1. Chứng minh \(\sqrt2+\sqrt3\) là số vô tỉ.
2. Chứng minh \(\sqrt{1+\sqrt6}\) là số vô tỉ.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 1 2022
) Giả sử √2 là số hữu tỉ nên suy ra : √2=ab ( a ; b ∈
N* ) ; ( a ; b ) = 1
⟹
b√2=a
⟹
b2.2=a2
⟹
a2 chia hết cho 2 ; mà 2
là số nguyên tố
⟹
a chia hết cho 2
⟹
a2 chia hết cho 4
⟹
b2.2 chia hết cho 4
⟹
b2 chia hết cho 2 ; mà 2 là số nguyên tố nên suy ra b chia hết cho 2
⟹
(a;b)=2 mâu thuẫn với (a;b)=1
⟹
Điều giả sử sai
⟹
√2 là số vô tỉ) Giả sử √2 là số hữu tỉ nên suy ra : √2=ab ( a ; b ∈
N* ) ; ( a ; b ) = 1
⟹
b√2=a
⟹
b2.2=a2
⟹
a2 chia hết cho 2 ; mà 2
là số nguyên tố
⟹
a chia hết cho 2
⟹
a2 chia hết cho 4
⟹
b2.2 chia hết cho 4
⟹
b2 chia hết cho 2 ; mà 2 là số nguyên tố nên suy ra b chia hết cho 2
⟹
(a;b)=2 mâu thuẫn với (a;b)=1
⟹
Điều giả sử sai
⟹
√2 là số vô tỉ
10 tháng 9 2020
a) Bằng phản chứng giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ
---> Đặt \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)với ƯCLN(a,b)=1 (tức là a/b tối giản), a,b>0
\(\Rightarrow b\sqrt{2}=a\Rightarrow2b^2=a^2\Rightarrow a^2\)là số chẵn \(\Rightarrow a\)là số chẵn
Đặt \(a=2k\Rightarrow b\sqrt{2}=2k\Rightarrow2b^2=4k^2\Rightarrow b^2=2k^2,k\inℕ\)
\(\Rightarrow b^2\)là số chẵn\(\Rightarrow b\)là số chẵn
Vậy \(2\inƯC\left(a,b\right)\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)\ne1\)---> Mâu thuẫn giả thiết--->đpcm
b) Bằng phản chứng giả sử \(3\sqrt{3}-1\)là số hữu tỉ
---> Đặt \(3\sqrt{3}-1=\frac{a}{b}\)với ƯCLN(a,b)=1 và a,b>0
\(\Rightarrow3b\sqrt{3}=a+b\Rightarrow27b^2=\left(a+b\right)^2\Rightarrow\left(a+b\right)^2⋮9\Rightarrow a+b⋮3\)
Đặt \(a+b=3k,k\inℕ\Rightarrow a=3k-b\Rightarrow\frac{3k-b}{b}=3\sqrt{3}-1\Rightarrow\frac{3k}{b}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow k^2=3b^2\Rightarrow k^2⋮3\Rightarrow k⋮3\)---> Đặt \(k=3l,l\inℕ\Rightarrow a=9l-b\Rightarrow\frac{9l-b}{b}=3\sqrt{3}-1\Rightarrow\frac{9l}{b}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow b^2=3l^2\Rightarrow b^2⋮3\Rightarrow b⋮3\)
\(\Rightarrow3\inƯC\left(a,b\right)\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)\ne1\)---> Mâu thuẫn giả thiết---> đpcm
(Bài dài quá, giải mệt vler !!)
5 tháng 8 2016
Ta có : \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ
\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ ( đpcm )
b) tương tự :
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}vôti\\\sqrt{3}vôti\\\sqrt{5}vôti\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\)vô tỉ
ND
2
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
1 tháng 7 2021
Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số hữu tỉ
nên \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\left(q\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{p^2}{q^2}=5-2\sqrt{6}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{p^2}{q^2}-5=-2\sqrt{6}\)(vô lý)
Vậy: \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ
NV
2
AH
17 tháng 9 2018
làm bừa thui,ai tích mình mình tích lại
Số số hạng là :
Có số cặp là :
50 : 2 = 25 ( cặp )
Mỗi cặp có giá trị là :
99 - 97 = 2
Tổng dãy trên là :
25 x 2 = 50
Đáp số : 50
CD
17 tháng 9 2018
Note: Mình tạm gọi căn 2 là c nhé.
CM c vô tỉ: GS c là số hữu tỉ >> c = a/b ( a,b khác 0; ƯCLN = 1)
>> c^2 = 2 = a^2/b^2
>>a^2 : 2 =b^2
Mà ta có ƯCLN của a,b = 1 >> vô lý >> c là số vô tỉ
CM 1+c vô tỉ: GS 1+c = d. GS d là số hữu tỉ >> d-1=c. Có d và 1 là 2 số hữu tỉ>> d-1 là số hữu tỉ mà c là số vô tỉ >> vô lý >> d là số vô tỉ
NQ
0
17 tháng 10 2018
Đề thiếu điều kiện n là số tự nhiên nhé
\(a)\)\(\sqrt{1+2+3+4+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-2\right)+...+3+2+1}\)
\(=\)\(\sqrt{\frac{n\left(n-1\right)}{2}+n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}}\)
\(=\)\(\sqrt{\frac{2n\left(n-1\right)}{2}+n}\)
\(=\)\(\sqrt{n\left(n-1\right)+n}\)
\(=\)\(\sqrt{n\left(n-1+1\right)}\)
\(=\)\(\sqrt{n^2}\)
\(=\)\(\left|n\right|\)
Mà n là số tự nhiên nên \(n\ge0\)\(\Rightarrow\)\(\left|n\right|=n\)
Vậy \(\sqrt{1+2+3+4+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1}=n\) ( đpcm )
Chúc bạn học tốt ~
BM
3
GH
11 tháng 7 2023
Giả sử \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}=x\left(x\in Q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=x^2\\ \Leftrightarrow11+4\sqrt{6}=x^2\\ \Leftrightarrow\sqrt{6}=\dfrac{x^2-11}{4}\)
Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{x^2-11}{4}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(x^2\) là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=x\left(x\in Q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2=x^2\\ \Rightarrow5-2\sqrt{6}=x^2\\ \Rightarrow\sqrt{6}=\dfrac{5-x^2}{2}\)
Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{5-x^2}{2}\Rightarrow\) \(x^2\)là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ
Giả sử \(x = \sqrt{2} + \sqrt{3}\) là một số hữu tỉ (\(x \in \mathbb{Q}\)).
Vì \(\sqrt{2} > 0\) và \(\sqrt{3} > 0\) nên \(x > 0\).Bước 2: Biến đổi biểu thức
Bình phương hai vế của đẳng thức:
\(x^{2}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}\)
\(x^{2}=2+2\sqrt{6}+3\)
\(x^{2}=5+2\sqrt{6}\)Cô lập căn thức \(\sqrt{6}\):
\(2\sqrt{6}=x^{2}-5\)
\(\sqrt{6}=\frac{x^{2}-5}{2}\)Bước 3: Lập luận mâu thuẫn
- Vì \(x\) là số hữu tỉ (\(x \in \mathbb{Q}\)) nên \(x^{2}\) cũng là số hữu tỉ.
- Do đó, \(\frac{x^{2}-5}{2}\) là một số hữu tỉ.
- Suy ra \(\sqrt{6}\) phải là số hữu tỉ.
Tuy nhiên, \(\sqrt{6}\) là một số vô tỉ (vì 6 không phải là số chính phương). Điều này gây ra mâu thuẫn.Kết luận:Giả sử ban đầu là sai. Vậy \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) là số vô tỉ.2. Chứng minh \(\sqrt{1+\sqrt{6}}\) là số vô tỉBước 1: Giả sử phản chứng
Giả sử \(y = \sqrt{1 + \sqrt{6}}\) là một số hữu tỉ (\(y \in \mathbb{Q}\)).
Vì \(1 + \sqrt{6} > 0\) nên \(y > 0\).Bước 2: Biến đổi biểu thức
Bình phương hai vế của đẳng thức:
\(y^{2}=1+\sqrt{6}\)Cô lập căn thức \(\sqrt{6}\):
\(\sqrt{6}=y^{2}-1\)Bước 3: Lập luận mâu thuẫn
- Vì \(y\) là số hữu tỉ (\(y \in \mathbb{Q}\)) nên \(y^{2}\) cũng là số hữu tỉ.
- Hiệu của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ, nên \(y^2 - 1\) là số hữu tỉ.
- Suy ra \(\sqrt{6}\) phải là số hữu tỉ.
Điều này mâu thuẫn vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ.Kết luận:Giả sử ban đầu là sai. Vậy \(\sqrt{1+\sqrt{6}}\) là số vô tỉ.
1: Giả sử \(\sqrt2\) là số hữu tỉ
=>\(\sqrt2=\frac{a}{b}\) , với ƯCLN(a;b)=1
=>\(\frac{a^2}{b^2}=2\)
=>\(a^2=2b^2\)
=>\(a^2\) ⋮2
=>a⋮2
=>a=2k
\(b^2=\frac{a^2}{2}=\frac{\left(2k\right)^2}{2}=\frac{4k^2}{2}=2k^2\)
=>\(b^2\) ⋮2
=>b⋮2
=>ƯCLN(a;b)>=2>1, sai với giả thiết
=>\(\sqrt2\) là số vô tỉ
Chứng minh tương tự, ta cũng được \(\sqrt3\) là số vô tỉ
Do đó: \(\sqrt2+\sqrt3\) là số vô tỉ