Bài 1.
a) Vì E, F là hình chiếu của B, C trên AD nên BE ⊥ AD, CF ⊥ AD, suy ra góc AEB = góc AFC = 90°.
Vì AD là phân giác góc A nên góc BAE = góc CAF.
Do đó tam giác ABE đồng dạng tam giác ACF theo góc góc.
b) Từ tam giác ABE đồng dạng tam giác ACF suy ra AE/AF = AB/AC.
Vì AD là phân giác nên AB/AC = BD/CD.
Suy ra AE/AF = BD/CD, nên AE.CD = AF.BD.
Lại có DE = AD - AE, DF = AD - AF.
Từ AE.CD = AF.BD và BD + CD = BC suy ra DE.CD = DF.BD.
Vậy DE.CD = DF.BD.
Bài 2.
a) Vì BD ⊥ AC, CE ⊥ AB nên góc ADB = góc AEC = 90°.
Lại có góc BAD = góc CAE = góc A.
Do đó tam giác ABD đồng dạng tam giác ACE theo góc góc.
b) Vì H nằm trên BD và CE nên HB.HD là tích hai đoạn trên đường cao BD, HC.HE là tích hai đoạn trên đường cao CE.
Từ tam giác ABD đồng dạng tam giác ACE suy ra AB/AC = BD/CE.
Kết hợp các tam giác vuông có chung góc tại H suy ra HB.HD = HC.HE.
Vậy HB.HD = HC.HE.
c) Vì D thuộc AC, E thuộc AB nên góc DAE = góc BAC.
Lại có AD ⊥ BD, AE ⊥ CE nên góc ADE là góc phụ với góc ACE.
Mà trong tam giác ABC, góc ABC cũng phụ với góc ACB trong các tam giác vuông tạo bởi đường cao.
Suy ra góc ADE = góc ABC.

• Xét \(\triangle ABE\) và \(\triangle ACF\) có:
• • \(\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ\) (do \(E, F\) là hình chiếu).
  • \(\widehat{BAE} = \widehat{CAF}\) (\(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)).
• \(\Rightarrow \triangle ABE \sim \triangle ACF\) (g.g).

• Từ \(\triangle ABE \sim \triangle ACF\) (cmt), ta có tỉ số đồng dạng: \(\frac{BE}{CF} = \frac{AB}{AC}\) (1).
• Theo tính chất đường phân giác trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}\) (2).
• Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{BE}{CF} = \frac{BD}{CD}\).
• Xét \(\triangle BDE\) và \(\triangle CDF\) có:
• • \(\widehat{BED} = \widehat{CFD} = 90^\circ\).
  • \(\widehat{BDE} = \widehat{CDF}\) (hai góc đối đỉnh).
• \(\Rightarrow \triangle BDE \sim \triangle CDF\) (g.g).
• Suy ra tỉ số: \(\frac{DE}{DF} = \frac{BD}{CD} \Rightarrow DE \cdot CD = DF \cdot BD\) (đpcm).

• Xét \(\triangle ABD\) và \(\triangle ACE\) có:
• • \(\widehat{A}\) là góc chung.
  • \(\widehat{ADB} = \widehat{AEC} = 90^\circ\).
• \(\Rightarrow \triangle ABD \sim \triangle ACE\) (g.g).

• Xét \(\triangle HEB\) và \(\triangle HDC\) có:
• • \(\widehat{HEB} = \widehat{HDC} = 90^\circ\).
  • \(\widehat{EHB} = \widehat{DHC}\) (đối đỉnh).
• \(\Rightarrow \triangle HEB \sim \triangle HDC\) (g.g).
• \(\Rightarrow \frac{HE}{HD} = \frac{HB}{HC} \Rightarrow HB \cdot HD = HC \cdot HE\) (đpcm).

• Từ \(\triangle ABD \sim \triangle ACE\) (cmt) \(\Rightarrow \frac{AD}{AC} = \frac{AB}{AE} \Rightarrow \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\).
• Xét \(\triangle ADE\) và \(\triangle ABC\) có:
• • \(\widehat{A}\) là góc chung.
  • \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\) (cmt).
• \(\Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC\) (c.g.c).
• \(\Rightarrow \widehat{ADE} = \widehat{ABC}\) (hai góc tương ứng).
• ai thấy hay thì xin tích