CMR: (a+b+c) - (a-b/b+2 + b-c/c+2 + c-a/a+2) _> 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 1 2019
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng engel:
\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NF
1 tháng 1 2019
Cách khác :
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương ta có:
\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2\left(a+b\right)}{4\left(a+b\right)}}=a\)
Tương tự: \(\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge b;\dfrac{c^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}\ge c\)
Cộng theo vế ta được:
\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)(đpcm)
TP
0
H
1
23 tháng 7 2019
Áp dụng bđt Svacxo có
\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}=a+b+c\)
Dấu "=" tại a =b = c
ko biết
Đặt
\(S = \left(\right. a + b + c \left.\right) - \left(\right. \frac{a - b}{b + 2} + \frac{b - c}{c + 2} + \frac{c - a}{a + 2} \left.\right) .\)
Ta có
\(\frac{a - b}{b + 2} \leq a - b\)
vì \(b + 2 \geq 1\) (giả sử \(a , b , c \geq 0\)).
Tương tự,
\(\frac{b - c}{c + 2} \leq b - c , \frac{c - a}{a + 2} \leq c - a .\)
Cộng ba bất đẳng thức:
\(\frac{a - b}{b + 2} + \frac{b - c}{c + 2} + \frac{c - a}{a + 2} \leq \left(\right. a - b \left.\right) + \left(\right. b - c \left.\right) + \left(\right. c - a \left.\right) = 0.\)
Suy ra
\(S \geq a + b + c > 0.\)
Vậy
\(\boxed{\left(\right. a + b + c \left.\right) - \left(\right. \frac{a - b}{b + 2} + \frac{b - c}{c + 2} + \frac{c - a}{a + 2} \left.\right) > 0.}\)
(Điều kiện cần: \(a , b , c \geq 0\).)