Giả sử \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)(Vì a, b, c > 0)

\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+ac< ab+bc\)

\(\Leftrightarrow ac< bc\)(Đúng vì c > 0 và a < b)

Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)(đpcm)

Trả lời:

Ta có:

\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)

⇔ a(b + c) < (a + c)b

(vì a > 0, b > 0 và c > 0 ⇔ b + c > 0 và a + c > 0)

⇔ ab + ac < ab + bc

⇔ ac < bc ⇔ a < b (luôn đúng, theo gt)

Vì a<b nên a = b - m   \(\left(m\inℕ^∗\right)\)

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b-m}{b}=1-\frac{m}{b}\)

            \(\frac{a+c}{b+c}=\frac{b+c-m}{b+c}=1-\frac{m}{b+c}\)

Ta thấy \(\frac{m}{b}>\frac{m}{b+c}\)nên \(1-\frac{m}{b}< 1-\frac{m}{b+c}\)

hay \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)

Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\).

hoc24.net giúp em với

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow ad< bc\)

\(\Rightarrow ab+ad< bc+ab\)

\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)( 1 )

Lại có : ad < bc

\(\Rightarrow ad+cd< bc+cd\)

\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

\(VT=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{b+c+b}+\frac{c+b}{c+a+b}=2=VT\)

đặt VT =A đi .thì sử dụng BĐT bunhiacopxki ta có: 
A[a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b)] 
>=(a+b+c+d)^2 
giờ ta chỉ cần chứng minh: 
(a+b+c+d)^2>=2a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a... 
điều này <=> với:a^2+b^2+c^2+d^2>=2ac+2bd. 
diều này là hiển nhiên theo BĐT cô-si=>đpcm.MinA=2.

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)

+) \(ad+ab< bc+ab\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)( 1 )

+) \(ad+cd< bc+cd\Leftrightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\)

 Vì \(b,d>0\Rightarrow bd>0\)

\(\Rightarrow ad< bc\)

Ta lại có:

\(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+d\right)}{b\left(b+d\right)}=\frac{ab+ad}{b\left(b+d\right)}\)

\(\frac{a+c}{b+d}=\frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+d\right)}=\frac{ab+bc}{b\left(b+d\right)}\)

Vì \(b,d>0\)

Nên \(b\left(b+d\right)>0\)và \(d\left(b+d\right)>0\)         \(\left(1\right)\)

Mà \(ad< bc\Leftrightarrow ab+ad< ab+bc\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)ta có: \(\frac{ab+ad}{b\left(b+d\right)}>\frac{ab+bc}{b\left(b+d\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(\cdot\right)\)

Ta lại có:

\(\frac{a+c}{b+d}=\frac{d\left(a+c\right)}{d\left(b+d\right)}=\frac{ad+cd}{d\left(b+d\right)}\)

\(\frac{c}{d}=\frac{c\left(b+d\right)}{d\left(b+d\right)}=\frac{bc+cd}{d\left(b+d\right)}\)

Mà \(ad< bc\Rightarrow ad+cd< bc+cd\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(3\right)\)ta có:

\(\frac{ad+cd}{d\left(b+d\right)}< \frac{bc+cd}{d\left(b+d\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(\cdot\cdot\right)\)

Từ \(\left(\cdot\right)\)và \(\left(\cdot\cdot\right)\)ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

Vì  \(\frac{a}{b}\)  < \(\frac{c}{d}\)  nên ad < bc         (1)

Xét tích a(b + d) = ab + ad          (2)

             b ( a + c ) = ba + bc        (3)

Từ (1);(2);(3) suy ra a(b+d) < b(a+c)   do đó  \(\frac{a}{b}\)  < \(\frac{a+c}{b+d}\)        (4)

Tương tự ta có \(\frac{a+c}{b+d}\)    <  \(\frac{c}{d}\)   (5)

kết hợp (4) ; (5) ta được \(\frac{a}{b}\)  < \(\frac{a+c}{b+d}\)  < \(\frac{c}{d}\)  

vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}=>ad< bc\)

=>ad+ab<bc+ab

=>a(b+d)<b(a+c)

=>\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)

vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}=>ad< bc\)

=>ad+cd<bc+cd

=>a(a+c)<c(b+d)

=>\(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (2)

từ (1)(2)=>\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

chúc bạn học tốt

Bài 2 : Theo ví dụ trên ta có : \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)=> ad < bc

Suy ra :

\(\Leftrightarrow ad+ab< bc+ba\Leftrightarrow a(b+d)< b(a+c)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)

Mặt khác : ad < bc => ad + cd < bc + cd

\(\Leftrightarrow d(a+c)< (b+d)c\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

Vậy : ....

b, Theo câu a ta lần lượt có :

\(-\frac{1}{3}< -\frac{1}{4}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)

\(-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}\)

\(-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}\)

Vậy : \(-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)