{Chứng minh rằng: } (a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LD
1
B
23 tháng 8 2017
Bài làm
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
HH
0
H
0
HQ
15 tháng 2 2021
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
HQ
15 tháng 2 2021
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
NH
0
NT
0
Đặt a+b = x, ta có :
(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3
= (x+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3
= x^3 + 3x^2c + 3xc^2 + c^3 - a^3 - b^3 - c^3
=x^3 + 3xc(x+c) - a^3 - b^3
= (a+b)^3 + 3(a+b)c(a+b+c) - a^3 - b^3
= 3ab(a+b) + 3c(a+b)(a+b+c)
= 3(a+b) [ab + c(a+b+c)]
= 3(a+b) [ab + ac + bc + c^2]
= 3(a+b) [a(b+c) + c(b+c)]
= 3(a+b)(b+c)(c+a)
Vậy (a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)(Đpcm)
Để chứng minh hằng đẳng thức này, mk có thể biến đổi vế trái (VT) xem nó có ra bằng vế phải (VP) không nha.
Đầu tiên, mk nhóm (a + b) lại với nhau rồi khai triển hằng đẳng thức bậc 3 nè: VT = [(a + b) + c]^3 - a^3 - b^3 - c^3
Áp dụng công thức (X + Y)^3 = X^3 + Y^3 + 3XY(X + Y) với X = a + b và Y = c, mk được: VT = (a + b)^3 + c^3 + 3(a + b)c[(a + b) + c] - a^3 - b^3 - c^3
Bây giờ mk triệt tiêu c^3 với -c^3, rồi khai triển tiếp (a + b)^3 ra luôn: VT = (a^3 + b^3 + 3ab(a + b)) + 3(a + b)c(a + b + c) - a^3 - b^3
Tiếp tục triệt tiêu a^3 và b^3 đi, VT chỉ còn lại: VT = 3ab(a + b) + 3(a + b)c(a + b + c)
Đến đây thấy cả hai cụm đều có chung 3(a + b) nên mk đặt làm nhân tử chung nha: VT = 3(a + b) * [ab + c(a + b + c)] VT = 3(a + b) * [ab + ac + bc + c^2]
Giờ mk nhóm các hạng tử trong ngoặc vuông lại để phân tích tiếp: ab + ac + bc + c^2 = a(b + c) + c(b + c) = (b + c)(a + c)
Thay ngược lại vào biểu thức ban đầu: VT = 3(a + b)(b + c)(a + c)
Kết quả này chính bằng vế phải (VP) luôn rồi á b. Vậy là mk chứng minh xong nha!