Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-y+2z-3=0 và điểm A(1;2;-1).
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P).
b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P).
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
a) Phương trình đường thẳng \(d\)
Vì \(d \bot \left(\right. P \left.\right)\) nên nhận \(\overset{⃗}{n}\) làm VTCP.
Qua \(A \left(\right. 1 ; 2 ; - 1 \left.\right)\):
\(d : \left{\right. x = 1 + 2 t \\ y = 2 - t \\ z = - 1 + 2 t\)
b) Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left(\right. P \left.\right)\)
Gọi \(H \in d\):
\(H \left(\right. 1 + 2 t ; 2 - t ; - 1 + 2 t \left.\right)\)
Thay vào \(\left(\right. P \left.\right)\):
\(2 \left(\right. 1 + 2 t \left.\right) - \left(\right. 2 - t \left.\right) + 2 \left(\right. - 1 + 2 t \left.\right) - 3 = 0\)
\(9 t - 5 = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{9}\)
\(H \left(\right. \frac{19}{9} ; \frac{13}{9} ; \frac{1}{9} \left.\right)\)
c) Khoảng cách từ \(A\) đến \(\left(\right. P \left.\right)\)
\(d \left(\right. A , \left(\right. P \left.\right) \left.\right) = \frac{\mid 2 \cdot 1 - 2 + 2 \left(\right. - 1 \left.\right) - 3 \mid}{\sqrt{2^{2} + \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} + 2^{2}}}\) \(= \frac{5}{3}\)
\(d\left(\right.A,\left(\right.P\left.\right)\left.\right)=\frac{5}{3}\)
bị lỗi nha d : \left{\right. x = 1 + 2 t \\ y = 2 - t \\ z = - 1 + 2 t là
\(d:\begin{cases}x=1+2t\\ y=2-t\\ z=-1+2t\end{cases}\)