Giả sử tồn tại số \(p\)thỏa mãn. 

Ta đặt \(\frac{p^2-p-2}{2}=a^3\).

- \(p=2\)thỏa mãn.

- \(p>2\)do là số nguyên tố nên \(p\)lẻ.

Ta có: \(\frac{p^2-p-2}{2}=a^3\Leftrightarrow p\left(p-1\right)=2\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\)suy ra \(p\)là ước của \(a+1\)hoặc \(a^2-a+1\).

+) \(p|a+1\): \(\frac{p^2-p-2}{2}=a^3\)suy ra \(a< p\Rightarrow a+1=p\).

Thế vào cách đặt ban đầu ta được \(\frac{\left(a+1\right)^2-\left(a+1\right)-2}{2}=a^3\Leftrightarrow2a^3-a^2-a+2=0\)

\(\Leftrightarrow a=-1\)không thỏa. 

+) \(p|a^2-a+1\): Đặt \(a^2-a+1=kp\)(1).

\(p\left(p-1\right)=2\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)=2\left(a+1\right)kp\)

\(\Rightarrow p-1=2\left(a+1\right)k\Leftrightarrow p=2k\left(a+1\right)+1\)thế vào (1): 

\(a^2-a+1=k\left[2k\left(a+1\right)+1\right]\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(2k^2+1\right)a-2k^2-k+1=0\)

\(\Delta=\left(2k^2+1\right)^2-4\left(-2k^2-k+1\right)=4k^4+12k^2+4k-3\).

Ta cần tìm số tự nhiên \(k\)để \(\Delta\)là số chính phương. 

Ta có: \(4k^4+12k^2+4k-3>4k^4+8k^2+4=\left(2k^2+2\right)^2\)

\(4k^4+12k^2+4k-3< 4k^4+16k^2+16=\left(2k^2+4\right)^2\)

Theo nguyên lí kẹp suy ra \(4k^4+12k^2+4k-3=\left(2k^2+3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4k-3=9\Leftrightarrow k=3\).

Với \(k=3\): \(a^2-19a-20=0\Rightarrow a=20\Rightarrow p=127\).

Vậy \(p\in\left\{2,127\right\}\).

\(p^2+3pq+q^2=m^2\left(m\in N^{\text{*}}\right)\)

\(\Leftrightarrow pq+\left(p+q\right)^2=m^2\)

\(\Leftrightarrow pq=\left(m-p-q\right)\left(m+p+q\right)\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=pq\\m-p-q=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2p+2q-pq+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(p-2\right)\left(q-2\right)=5=1.5\)

\(\Leftrightarrow\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)

Thử lại ta được \(\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=p\\m-p-q=q\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3q+p=0\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại p, q thỏa mãn

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=q\\m-p-q=p\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3p+q=0\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại p, q thỏa mãn

Vậy \(\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)

p,q bình đẳng nên giả sử p>=q để giải gọn hơn nha bạn

Câu a =13 

Câu b =2 con câu c lam tuong tu 

tại sao caí bài này  ko làm đcj

\(P=3n^3-7n^2+3n+6\)

\(=3n^3+2n^2-9n^2-6n+9n+6\)

\(=n^2\left(3n+2\right)-3n\left(3n+2\right)+3\left(3n+2\right)\)

\(=\left(3n+2\right)\left(n^2-3n+3\right)\)

để p là nguyên tố thì 3n+2 hoặc n²-3n+3  phải bằng 1 (nếu cả hai tích số đều lớn hơn 1 => p là hợp số, trái với đầu bài) 

*3n+2=1=>n=-1/3

*n²-3n+3=1<=>n²-3n+2=0

\(\Leftrightarrow n^2-2\times\frac{3}{2}n+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{4}=\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\)

                            \(\orbr{\begin{cases}n-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\\n-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=1\end{cases}}}\)

nếu n= 2 thì (3n+2)(n²-3n+3)=(3.2+2).1=8 (ko phải số nguyên tố nên ta loại)

vậy n=1