\(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+1}-n}\right)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{\frac{n^3+1-n^3}{\sqrt[3]{\left(n^3+1\right)^2}+n\cdot\sqrt[3]{n^3+1}+n^2}}\right)\)

\(=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{\left(n^3+1\right)^2}+n\cdot\sqrt[3]{n^3+1}+n^2\right)=\lim_{x\to\infty}\left\lbrack n^2\left(\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^2}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}+1\right)\right\rbrack=+\infty\)

\(\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{n^3-2n^2}-n\right)\)

\(=\lim_{x\to\infty}\frac{n^3-2n^2-n^3}{\sqrt[3]{\left(n^3-2n^2\right)^2}+n\cdot\sqrt[3]{n^3-2n^2}+n^2}\)

\(=\lim_{x\to\infty}\frac{-2n^2}{n^2\cdot\left\lbrack\sqrt[3]{\left(1-\frac{2}{n}\right)^2}+\sqrt[3]{1-\frac{2}{n}}+1\right\rbrack}=\lim_{x\to\infty}\frac{-2}{\left\lbrack\sqrt[3]{\left(1-\frac{2}{n}\right)^2}+\sqrt[3]{1-\frac{2}{n}}+1\right\rbrack}\)

=-∞

\(lim_{x\rightarrow0+}\frac{\left(1+x\right)^n-1}{x}\)   

\(=lim_{x\rightarrow0+}\frac{\left(1+x\right)^n-1^n}{x}\)   

\(=lim_{x\rightarrow0+}\frac{\left(1+x-1\right)\left[\left(1+x\right)^{n-1}+\left(1+x\right)^{n-2}+...+\left(1+x\right)^0\right]}{x}\)   

\(=lim_{x\rightarrow0}\left[\left(1+x\right)^{n-1}+\left(1+x\right)^{n-2}+...\left(1+x\right)^0\right]\)    

\(=1^{n-1}+1^{n-2}+...+1^0\) 

Số số hạng 

\(\left(n-1-0\right):1+1=n\)   

Do mọi số hạng đều bằng 1 nên tổng là 

\(1\cdot n=n\)

Đáp án D đúng

Vì cả 3 giới hạn kia đều ko tồn tại, chỉ có giới hạn cuối là tồn tại (do hàm sin, cos là hàm tuần hoàn có chu kì, do đó giới hạn vô cực ko tồn tại)

2 cách:

C1: Xài VCB tương đương khi x ->0

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{e^x}{e^x-1}-\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{e^x-1+1}{e^x-1}-\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x}{x}=1\)

C2: Xài L'Hospital

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x.x-e^x+1}{x.e^x-x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x.x+e^x-e^x}{e^x.x+e^x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x.x}{e^x.x+e^x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x.x+e^x}{e^x.x+2e^x-1}=1\)

Ủa mà lạ nhỉ, lớp 11 đã học số e đâu mà đã cho bài tập về dạng này rồi tar? 

kékduhchchdjjdj

Đây là giới hạn dạng vô định \(\frac{0}{0}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow3^+}\frac{\sqrt{x-3}.\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}}{\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}}=\lim\limits_{x\rightarrow3^+}\frac{\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}}{\sqrt{x+3}}=\frac{0}{\sqrt{6}}=0\)