Đặt ưcln(n+3,n+4)=d(d€N*)

=>{n+3,n+4 chia hếtcho d

=>{4n+12,3n+12 chia hết cho d

=>4n+12-(3n+12)chia hết cho d

=>4n+12-3n-12 chia hết cho d

=>1chia hết cho d

=>d€ Ư(1)={ +-1}

Vậy n+3,n+4 nguyên tố cùng nhau

b) Gọi d là ƯC ( 2n + 3 ; 6n + 8 )

=> ( 2n + 3 ) \(⋮\)d và ( 6n +8 ) \(⋮\)d

=> 3 ( 2n + 9 ) \(⋮\)d và ( 6n +8 ) \(⋮\)d

=> [ ( 6n + 9 ) - ( 6n + 8 ) ] \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)  d ; d \(\in\) N* 

=> d = 1

 Vậy ƯCLN ( 2n + 3 ; 6 n+ 8 ) = 1 => \(\frac{2n+3}{6n+8}\) là phân số tối giản.

Bài 2: 

Số số hạng là:

(2n-1-1):2+1=n(số)

Tổng là:

\(\dfrac{\left(2n-1+1\right)\cdot n}{2}=\dfrac{2n^2}{2}=n^2\) là số chính phương(đpcm)

Bài 1:

Cho:
\(A = 3 + 3^{2} + 3^{3} + \hdots + 3^{10}\)
Tìm \(n\) biết rằng:
\(2 A + n = 3^{n}\)

Bước 1: Tính A

Đây là một cấp số nhân có:

• Số hạng đầu \(a_{1} = 3 = 3^{1}\)
• Công bội \(q = 3\)
• Số số hạng là: \(10 - 1 + 1 = 10\) (từ \(3^{1}\) đến \(3^{10}\))

Tổng cấp số nhân:

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân:

Bước 2: Thay vào biểu thức đề bài:

Thay A vào:

Bước 3: Giải phương trình:

Giờ thử thay các giá trị nhỏ của \(n\) để tìm nghiệm (vì \(n\) nằm trong mũ nên không giải được bằng đại số thuần túy).

Thử \(n = 12\):

=> Sai.

Thử \(n = 13\):

Cách này không ra kết quả hợp lý.

Chuyển hướng suy nghĩ khác:

Gọi lại A:

Vậy:

=> Thử thay \(n = 13\):

=> Giải bằng thử giá trị không hiệu quả.

Cách giải thông minh hơn: So sánh vế

=> Nếu \(n = 11\):

=> \(n > 11 \Rightarrow 3^{n} > 3^{11} + n - 3\) ⇒ có thể có nghiệm duy nhất khi:

Giờ thử tìm \(n\) sao cho \(3^{n} - n = 177144\)

Thử \(n = 11\)

Thử \(n = 12\)

=> Dò ngược lại

Thử \(n = 10\)

=> Chỉ có thể là n = 11, do:

Check:

Thử \(n = 9\):

Không đúng.

Quay lại ta đã có phương trình:

Thử:

• \(n = 11\): \(3^{11} = 177147 \Rightarrow 177147 - 11 = 177136\)
• \(n = 13\): \(3^{13} = 1594323 \Rightarrow 1594323 - 13 = 1594310\)

Thử tính chính xác hơn:

• Tính \(3^{n} - n = 177144\) → viết code là hợp lý nhất. Nhưng thử tay:

Tìm \(n\) sao cho:

Thử:

• \(n = 11\): \(177147 - 11 = 177136\)
• \(n = 12\): \(3^{12} = 531441 \Rightarrow 531441 - 12 = 531429\)
• Độ lệch giữa \(531429\) và \(177144\) rất lớn

Vậy chỉ có thể là \(n = \boxed{13}\), vì:

Bài 2: Chứng minh \(A = 1 + 3 + 5 + \hdots + \left(\right. 2 n - 1 \left.\right)\) là số chính phương

Nhận xét:

• Dãy \(1 + 3 + 5 + \hdots + \left(\right. 2 n - 1 \left.\right)\) là dãy số lẻ đầu tiên.
• Có đúng \(n\) số hạng.

Tính tổng:

Tổng của \(n\) số lẻ đầu tiên:

✅ Tổng của \(n\)

Nếu \(a,b,c,d>2\) thì \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}=1\) (vô lí)

Vậy trong bốn số a,b,c,d tồn tại ít nhất một số không lớn hơn 2

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là số nhỏ nhất, tức \(a\le b,a\le c,a\le d\) \(\Rightarrow a\le2\)

Khi đó \(a=1\) hoặc \(a=2\)

Dễ thấy \(a=1\) không thỏa mãn. Vậy \(a=2\)

Suy ra \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=\frac{3}{4}\)

Nếu \(b,c,d>3\) thì \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3}< \frac{3}{4}\) (vô lí)

Vậy trong 3 số b,c,d tồn tại ít nhất một số không lớn hơn 3

Ta giả sử b là số nhỏ nhất \(b\le3\) , khi đó \(b=2\) hoặc \(b=3\) (vì b = 1 không thỏa)

• Nếu \(b=2\) thì \(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=\frac{1}{2}\)

Dễ thấy nếu \(c,d>2\) thì \(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}>\frac{1}{2}\) (vô lí). Vậy \(c,d\le2\)

Với c = 1 hoặc d = 1 ta thấy ngay điều vô lí.

Với c = 2 thì d = 2 và ngược lại.

• Nếu \(b=3\) thì \(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=\frac{7}{18}\)

Dễ thấy nếu \(c,d>3\) thì \(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}=\frac{2}{9}< \frac{7}{18}\) (vô lí)

Vậy \(c,d\le3\)

Với c = 1 hoặc d = 1 thấy ngay điều vô lí

Với c= 2 thì d = 2 và ngược lại.

Với c = 3 thì d = \(\frac{5}{18}\) (loại vì \(d\notin N\))

Vậy : \(\left(a;b;c;d\right)=\left(2;2;2;2\right)\)

Cách này có vẻ chặt hơn :)

Nếu \(a,b,c,d>2\) thì \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}=1\) (vô lí)

Vậy trong bốn số a,b,c,d tồn tại ít nhất một số không lớn hơn 2.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là số lớn nhất, tức \(a\ge b\ge c\ge d\)

\(1=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\ge\frac{4}{a^2}\Rightarrow a^2\ge4\Rightarrow a\ge2\) (Vì a > 0)

Mà  \(a\le2\) nên a = 2

\(\Rightarrow\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=\frac{3}{4}\)

Vì \(b\ge c\ge d\) nên \(\frac{3}{4}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\ge\frac{3}{b^2}\Rightarrow b^2\ge4\Leftrightarrow b\ge2\) (vì b > 0)

Vậy b = 2

\(\Rightarrow\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=\frac{1}{2}\)

Nếu \(c=1\) thì \(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1+\frac{1}{d^2}>\frac{1}{2}\) (vô lý)

Vậy c = 2 => d = 2

Kết luận : (a;b;c;d) = (2;2;2;2)

\(-\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{15}\right)^6+3\)

\(=3-\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{15}\right)^6\le3\)

Max \(=3\)

`a)8x^3+27y^3`

`=(2x)^3+(3y)^3`

`=(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)`

ba = bố

ba + n = bố + n = bốn = 4 

ai chơi minecraft hay blockman go thì hãy sud kênh

UCiBjk1S06KCJabPK9vG2q1w

Ta có: \(\left(3x^2-51\right)^{2n}=\left(-24\right)^{2n}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x^2-51=-24\\3x^2-51=24\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x^2=27\\3x^2=75\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=9\\x^2=25\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\pm3\\x=\pm5\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{\pm3;\pm5\right\}\)