?

Ảo loz ak

\(S=\frac{\left(a+b\right)^2-a^2-b^2}{2}+2\left(a+b\right)\)

\(S=\frac{\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-1}{2}\)

\(S=\frac{\left\{\left(a+b\right)-2\right\}^2+5}{2}\)

S>=\(\frac{5}{2}\) xay ra dau = khi va chi khi a+b=2 dua vao day tim a,b

\(S=ab+2\left(a+b\right)\le\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\dfrac{1}{2}+2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

ta có:

\(ab< =\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}< =a^2+b^2=1\)

=>\(2\left(a+b\right)< =2\sqrt{2}\)

=>\(ab+2\left(a+b\right)< =\frac{1}{2}+2\sqrt{2}=\frac{1+4\sqrt{2}}{2}\)

=>Max ab+2(a+b)=\(\frac{1+4\sqrt{2}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=1\\a=b\end{cases}< =>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

mik chỉ làm ngếu ngáo thôi nhé . đúng thì đúng mà sai thì thôi nhé . mik ms học lớp 7 thôi . làm bừa  :)

Theo cô si ta có

\(ab\left(a^2+b^2\right)\le\left\{\frac{ab+\left(a^2+b^2\right)}{2}\right\}^2\)

\(M\le\left\{\frac{\left(a+b\right)^2-ab}{2}\right\}\Leftrightarrow M\le50^2-\left(ab\right)^2\)

\(M\le\left(50-ab\right)\left(50+ab\right)\)

Dự đoán a+b=10  tức a=b=5 thay số vào 

\(M\le\left(50-25\right)\left(50+25\right)\)

\(M\le1875\)

thử thay 5 vào biết thức M ta được

\(ab\left(a^2+b^2\right)=25\left(25+25\right)=1250\)

suy ra mik  chưa đủ trình đề làm bài này :))) . thông cảm nhé :))

\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\Rightarrow-3\le a+b+c\le3\)

\(S=a+b+c+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+a+b+c-\dfrac{3}{2}\)

Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow-3\le x\le3\)

\(S=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)^2-2\ge-2\)

\(S_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=-1\\a^2+b^2+c^2=3\end{matrix}\right.\) (có vô số bộ a;b;c thỏa mãn)

\(S=\dfrac{1}{2}\left(x^2+2x-15\right)+6=\dfrac{1}{2}\left(x-3\right)\left(x+5\right)+6\le6\)

\(S_{max}=6\) khi \(x=3\) hay \(a=b=c=1\)

a) Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacopxki ta có :

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a.1+b.1+c.1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)

b) Ta có : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(đúng)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3ab+3bc+3ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Rightarrow ab+ac+bc\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)